Fiche de cours : Trigonométrie.
La trigonométrie dans le triangle rectangle est souvent abordée comme une affaire de formules à apprendre par cœur (soh-cah-toa) sans que le sens conceptuel des trois rapports soit construit. Or, ce sens repose sur une idée géométrique précise : dans tous les triangles rectangles ayant un même angle aigu, les rapports entre les côtés sont les mêmes, indépendamment de la taille du triangle. Cette invariance par similitude est le cœur de la trigonométrie. Une fois acquise, elle rend les formules naturelles plutôt qu'arbitraires.
Cette fiche aborde la trigonométrie en partant de cette invariance. Elle progresse ensuite vers le choix raisonné du rapport (selon les données et l'inconnue), le calcul d'une longueur ou d'un angle, et l'usage de la relation fondamentale $\sin^2 + \cos^2 = 1$ comme outil de vérification. Une attention particulière est portée au contrôle de vraisemblance : $\sin(\alpha)$ et $\cos(\alpha)$ d'un angle aigu sont toujours dans $[0\,;\,1]$.
Considérons deux triangles rectangles ayant un même angle aigu $\alpha$. Ils sont nécessairement semblables : l'un est l'agrandissement (ou la réduction) de l'autre. Si l'on multiplie toutes les longueurs par un même coefficient $k$, alors le rapport de deux longueurs reste inchangé : $$ \dfrac{k \times \text{opposé}}{k \times \text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}. $$ Autrement dit, le rapport ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle. C'est précisément ce qu'expriment les notations $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ et $\tan(\alpha)$ : ce sont des nombres qui ne dépendent que de l'angle aigu $\alpha$.
C'est la grande puissance de la trigonométrie : trois nombres associés à un angle suffisent à décrire toutes les proportions des triangles rectangles ayant cet angle.
On considère trois triangles rectangles, chacun ayant un angle aigu de $30^{\circ}$. Leurs dimensions sont les suivantes.
Soit un triangle rectangle, et $\alpha$ l'un de ses angles aigus. Par rapport à $\alpha$, on distingue trois côtés.
On définit alors trois rapports. $$ \sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \quad ; \quad \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \quad ; \quad \tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}. $$
Moyen mnémotechnique : soh-cah-toa. Soh pour $\sin = $ Opposé sur Hypoténuse, Cah pour $\cos = $ Adjacent sur Hypoténuse, Toa pour $\tan = $ Opposé sur Adjacent. Ce moyen mnémotechnique ne suffit pas : il doit toujours s'accompagner d'un schéma où l'angle de référence est clairement repéré.
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on étudie l'angle $\widehat{BAC}$ (que l'on notera $\alpha$).
Pour choisir entre $\sin$, $\cos$ et $\tan$, on procède en deux temps.
Exemples.
Pour chaque situation, indiquer si l'on doit utiliser $\sin$, $\cos$ ou $\tan$. On ne demande pas le calcul, seulement le choix.
Calculer une longueur connaissant l'angle. On écrit l'égalité du rapport, on substitue les valeurs connues, on isole l'inconnue, on calcule à la calculatrice (mode degrés obligatoire).
Calculer un angle connaissant deux longueurs. On utilise les fonctions inverses $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ (touches arcsin, arccos, arctan sur la calculatrice). À partir du rapport calculé, ces fonctions donnent l'angle.
Erreur fréquente : le mode degrés/radians. Si la calculatrice est en mode radians, les résultats sont aberrants. Réflexe : vérifier que $\sin(30^{\circ}) = 0{,}5$ avant tout calcul. Si l'on obtient une autre valeur, le mode est mauvais.
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $\widehat{BAC} = 35^{\circ}$ et $AC = 10$ cm.
Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on a $RS = 4$ cm et $ST = 7$ cm.
Pour un angle aigu, le sinus et le cosinus sont toujours strictement compris entre $0$ et $1$ : c'est l'opposé ou l'adjacent divisé par l'hypoténuse, qui est nécessairement plus longue que les autres côtés.
Si l'on obtient $\sin(\alpha) = 1{,}3$ ou $\cos(\alpha) = 2$, c'est que le calcul est faux : on a confondu un rapport avec son inverse, ou on s'est trompé d'angle de référence.
Repères à retenir. $$ \sin(30^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad \cos(60^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad \sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) \quad ; \quad \tan(45^{\circ}) = 1. $$
Relation fondamentale. Pour tout angle $\alpha$, on a $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle d'hypoténuse $1$. Cette relation est un excellent outil de contrôle.
Pour chaque résultat, dire s'il est vraisemblable pour un angle aigu. Sinon, indiquer ce qui est manifestement faux.
Avant et pendant un calcul trigonométrique, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.