Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln x$ est l'exposant à donner à $\mathrm{e}$ pour obtenir $x$. Les élèves le manipulent souvent avec des règles inventées par analogie, comme $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$, ou oublient qu'il n'est défini que pour des nombres strictement positifs. Cette fiche démonte ces automatismes et installe les bons : passer d'une écriture exponentielle à une écriture logarithmique, utiliser les propriétés du produit, du quotient et de la puissance, résoudre une équation ou une inéquation en respectant le domaine, puis dériver et étudier une fonction où intervient le logarithme.
Passer de l'exponentielle au logarithme
Rappel : la définition, dans les deux sens
Pour $x > 0$ et $y$ réel, $\ln x = y \iff x = \mathrm{e}^{y}$. Donc $\ln 1 = 0$, $\ln \mathrm{e} = 1$, $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ (pour $x > 0$) et $\ln\left(\mathrm{e}^{y}\right) = y$ (pour tout $y$).
Exercice 1 · Traduire dans les deux sens
Compléter à l'aide de la définition : $\mathrm{e}^{2} \approx 7{,}39$, donc $\ln 7{,}39 \approx …$ ; $\mathrm{e}^{0} = 1$, donc $\ln … = …$ ; $\ln 20 \approx 3$, donc $\mathrm{e}^{3} \approx …$
Résoudre $\mathrm{e}^{x} = 10$, $\mathrm{e}^{x} = 1$, $\ln x = -1$ et $\ln x = 0$ (valeurs exactes, puis arrondis au centième).
Fausse. $(\ln a)^{2}$ est le carré du nombre $\ln a$, alors que $2 \ln a = \ln\left(a^{2}\right)$ ; avec $a = \mathrm{e}$ : $1^{2} = 1$ mais $2 \times 1 = 2$.
Calculer avec les propriétés
Rappel : les règles à utiliser
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\ln\left(a^{n}\right) = n \ln a$, $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$. Réflexe : décomposer le nombre en produit de facteurs premiers.
Exercice 3 · Exprimer avec $\ln 2$ et $\ln 5$
Écrire chaque nombre en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$.
On écrit l'ensemble des $x$ pour lesquels chaque logarithme est défini (argument strictement positif), on résout, puis on rejette les solutions hors de cet ensemble. Ensuite : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$ pour $a$, $b > 0$.
Exercice 4 · Équations et inéquations avec le domaine
a) $\ln(x + 1) = \ln(3 - x)$
b) $\ln\left(x^{2}\right) = \ln(x + 6)$
c) $2 \ln x = \ln 9$
d) $\ln(x - 1) < 2$
▶ Voir la solution
Conditions : $x > -1$ et $x < 3$. Alors $x + 1 = 3 - x \iff x = 1$, qui convient. $S = \{1\}$.
Conditions : $x^{2} > 0$ (donc $x \neq 0$) et $x > -6$. Alors $x^{2} = x + 6 \iff x^{2} - x - 6 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -2$. Les deux vérifient les conditions ($(-2)^{2} = 4 = -2 + 6$). $S = \{-2 \,;\, 3\}$. Attention : écrire $\ln\left(x^{2}\right) = 2 \ln x$ aurait imposé $x > 0$ et fait perdre la solution $-2$.
$n \ln 0{,}9 \leqslant \ln 0{,}5 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$, le sens change car $\ln 0{,}9 < 0$. Premier entier : $n = 7$.
$1{,}02^{n} > 1{,}6 \iff n > \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}02} \approx 23{,}7$. Premier entier : $n = 24$.
$-0{,}2 t = \ln 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 0{,}5}{-0{,}2} = -5 \ln 0{,}5 = 5 \ln 2 \approx 3{,}47$. C'est un temps de demi-vie : la quantité $\mathrm{e}^{-0{,}2 t}$ est divisée par deux tous les $3{,}47$ unités de temps.
Dériver et étudier
Rappel : les formules
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ et $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ pour $u > 0$. Les formules du produit et du quotient s'appliquent comme d'habitude.
Exercice 6 · Dériver
Dériver chaque fonction sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ (sur $\left]\dfrac{1}{3} \,;\, +\infty\right[$ pour $g$).
Produit : $n'(x) = \mathrm{e}^{x} \ln x + \mathrm{e}^{x} \times \dfrac{1}{x} = \mathrm{e}^{x}\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$.
Exercice 7 · Étude complète
Soit $f(x) = \ln x - x + 2$, définie sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x}$. Dresser le tableau de variations de $f$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha < \beta$, et en donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.
▶ Voir la solution
En $0^{+}$ : $\ln x \to -\infty$ et $-x + 2 \to 2$, donc $f(x) \to -\infty$. En $+\infty$ : forme « $+\infty - \infty$ » ; $f(x) = x\left(\dfrac{\ln x}{x} - 1 + \dfrac{2}{x}\right)$ avec $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ (croissances comparées), donc la parenthèse tend vers $-1$ et $f(x) \to -\infty$.
$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$. Le dénominateur est positif ; $1 - x > 0 \iff x < 1$. $f$ est croissante sur $\mathopen{]}0 \,;\, 1]$, décroissante sur $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, avec un maximum $f(1) = 0 - 1 + 2 = 1$.
Sur $\mathopen{]}0 \,;\, 1]$, $f$ est continue, strictement croissante, de limite $-\infty$ en $0^{+}$ à $f(1) = 1 > 0$ : une unique solution $\alpha$. Sur $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, $f$ est continue, strictement décroissante, de $1 > 0$ à $-\infty$ : une unique solution $\beta$. Encadrements : $f(0{,}1) \approx -0{,}40 < 0$ et $f(0{,}2) \approx 0{,}19 > 0$, donc $0{,}1 < \alpha < 0{,}2$ ; $f(3{,}1) \approx 0{,}03 > 0$ et $f(3{,}2) \approx -0{,}04 < 0$, donc $3{,}1 < \beta < 3{,}2$.
Exercice 8 · Dépréciation d'un véhicule
Un véhicule acheté $20\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. On note $V_{n}$ sa valeur au bout de $n$ années.
Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$.
Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous la moitié du prix d'achat ? Sous le quart ?
Que remarque-t-on entre ces deux durées ? L'expliquer avec les propriétés du logarithme.
▶ Voir la solution
Perdre $15\,\%$ revient à multiplier par $0{,}85$ : $V_{n} = 20\,000 \times 0{,}85^{n}$.
Moitié : $0{,}85^{n} < 0{,}5 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85} \approx 4{,}3$ (sens changé, $\ln 0{,}85 < 0$) : $5$ ans. Quart : $0{,}85^{n} < 0{,}25 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85} \approx 8{,}5$ : $9$ ans.
La seconde durée est le double de la première (avant arrondi) : $\ln 0{,}25 = \ln\left(0{,}5^{2}\right) = 2 \ln 0{,}5$, donc $\dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85} = 2 \times \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}$. Diviser par $4$, c'est diviser deux fois par $2$ : le temps nécessaire double.
Pour s'auto-évaluer
Rappel : cinq questions à se poser
Ai-je écrit la condition d'existence (arguments strictement positifs) avant de résoudre ?
Suis-je sûr de ne pas avoir utilisé une règle inventée pour $\ln(a + b)$ ou pour un quotient de logarithmes ?
En divisant par $\ln q$, ai-je regardé son signe pour décider si l'inégalité change de sens ?
Pour dériver $\ln u$, ai-je bien écrit $\dfrac{u'}{u}$ avec le $u'$ au numérateur ?
Devant une limite avec $\ln x$ et $x$, ai-je pensé aux croissances comparées ?