Pourquoi cette fiche ?
Calculer une limite, c'est décrire ce que fait une fonction aux bords de son domaine : très loin vers la droite ou la gauche, ou tout près d'une valeur interdite. Les erreurs viennent rarement des limites de référence elles-mêmes ; elles viennent d'une conclusion trop rapide devant une forme indéterminée, d'un signe de dénominateur oublié, ou d'un théorème appliqué sans vérifier ses hypothèses.
Cette fiche isole chaque geste : lire une limite de référence, reconnaître une forme indéterminée, la lever par le terme dominant ou par les croissances comparées, traiter une valeur interdite avec un tableau de signes, encadrer, puis mobiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Limites de référence
Donner chaque limite.
- a) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}$
- b) $\lim\limits_{x \to +\infty} x^4$
- c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-x^3\right)$
- d) $\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x}$
- e) $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2$
- f) $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3$
- g) $\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x}$
- h) $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$
▶ Voir la solution
- $0$.
- $+\infty$.
- $-\infty$ (opposé de $x^3 \to +\infty$).
- $+\infty$.
- $+\infty$ (exposant pair : $x^2$ est positif).
- $-\infty$ (exposant impair : $x^3$ garde le signe de $x$).
- $0$.
- $-\infty$ (à gauche de $0$, $x$ est négatif et proche de $0$).
Reconnaître et lever une forme indéterminée
Pour chaque limite en $+\infty$, dire s'il y a une forme indéterminée (et laquelle), puis conclure.
- a) $x^2 + \mathrm{e}^{x}$
- b) $x^3 - x^2$
- c) $\dfrac{x + 1}{x^2}$
- d) $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$
- e) $x \times \dfrac{1}{x}$
- f) $5 - \dfrac{1}{x}$
▶ Voir la solution
- Pas de forme indéterminée : somme de deux termes tendant vers $+\infty$, limite $+\infty$.
- « $+\infty - \infty$ ». $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) \to +\infty$.
- « $\frac{\infty}{\infty}$ ». $\dfrac{x + 1}{x^2} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} \to 0$.
- « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Croissances comparées : $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} \to +\infty$.
- « $\infty \times 0$ » en apparence, mais $x \times \dfrac{1}{x} = 1$ pour tout $x \neq 0$ : la limite est $1$.
- Pas de forme indéterminée : $5 - 0 = 5$.
Déterminer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$.
- a) $f(x) = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 + 2}$
- b) $g(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$
- c) $h(x) = \dfrac{x^3}{x + 1}$
- d) $k(x) = \dfrac{2x - 1}{4x + 3}$
▶ Voir la solution
Dans chaque cas, la limite en l'infini est celle du quotient des termes de plus haut degré.
- $\dfrac{3x^2}{x^2} = 3$ : $f(x) \to 3$ en $+\infty$ et en $-\infty$ (asymptote horizontale $y = 3$).
- $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x} \to 0$ : $g(x) \to 0$ dans les deux cas (asymptote horizontale $y = 0$).
- $\dfrac{x^3}{x} = x^2 \to +\infty$ : $h(x) \to +\infty$ en $+\infty$ comme en $-\infty$.
- $\dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2}$ : $k(x) \to \dfrac{1}{2}$ dans les deux cas.
Déterminer chaque limite.
- a) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^3}$
- b) $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 \mathrm{e}^{-x}$
- c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^2\right)$
- d) $\lim\limits_{x \to -\infty} x \mathrm{e}^{x}$
- e) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 + \mathrm{e}^{-x}\right)$
- f) $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x + \mathrm{e}^{x}\right)$
▶ Voir la solution
- $+\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur $x^3$.
- $x^2 \mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}} \to 0$.
- $\mathrm{e}^{x} - x^2 = \mathrm{e}^{x}\left(1 - \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}\right)$, avec $\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}} \to 0$ : limite $+\infty$.
- Forme « $-\infty \times 0$ » ; par croissances comparées, $x \mathrm{e}^{x} \to 0$ en $-\infty$.
- $\mathrm{e}^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc la limite est $2$ (asymptote horizontale $y = 2$).
- Pas de forme indéterminée : $x \to -\infty$ et $\mathrm{e}^{x} \to 0$, donc la limite est $-\infty$.
Valeurs interdites et asymptotes
- $f(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2}$ : limites à gauche et à droite de $1$.
- $g(x) = \dfrac{x + 2}{1 - x}$ : limites à gauche et à droite de $1$, puis asymptotes de la courbe.
- $h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ : limite en $1$. La courbe admet-elle une asymptote verticale ?
▶ Voir la solution
- $(x - 1)^2 > 0$ des deux côtés de $1$ et tend vers $0$ : $f(x) \to +\infty$ à gauche comme à droite. Asymptote verticale $x = 1$.
- Le numérateur tend vers $3 > 0$. Pour $x < 1$, $1 - x > 0$, donc $g(x) \to +\infty$ ; pour $x > 1$, $1 - x < 0$, donc $g(x) \to -\infty$. Asymptote verticale $x = 1$. En l'infini, $\dfrac{x}{-x} = -1$ : asymptote horizontale $y = -1$.
- Forme « $\frac{0}{0}$ ». Pour $x \neq 1$, $h(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$, donc $h(x) \to 2$. Pas d'asymptote verticale : la limite est finie, la courbe a simplement un « trou » en $x = 1$.
Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{x^2 - 1}$.
- Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
- Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. En déduire une asymptote.
- Calculer les limites de $f$ à gauche et à droite de $1$, puis de $-1$. En déduire deux asymptotes.
▶ Voir la solution
- $x^2 - 1 = 0 \iff x = 1$ ou $x = -1$ : $f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1 \,;\, 1\}$.
- Quotient des termes dominants $\dfrac{2x^2}{x^2} = 2$ : $f(x) \to 2$ en $+\infty$ et en $-\infty$. La droite $y = 2$ est asymptote horizontale.
- En $1$, le numérateur tend vers $2 - 3 = -1 < 0$. Le dénominateur $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ est négatif sur $\mathopen{]}-1 \,;\, 1\mathclose{[}$ et positif à l'extérieur. Donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ (négatif sur négatif) et $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$. En $-1$, même numérateur $-1$ : $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ (dénominateur positif) et $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$. Les droites $x = 1$ et $x = -1$ sont asymptotes verticales.
Encadrer et utiliser la continuité
Déterminer chaque limite en $+\infty$.
- a) $\dfrac{\sin(x)}{x^2}$
- b) $x^2 + \cos(x)$
- c) $\dfrac{3x + \sin(x)}{x}$
▶ Voir la solution
- $-\dfrac{1}{x^2} \leqslant \dfrac{\sin(x)}{x^2} \leqslant \dfrac{1}{x^2}$, bornes de limite $0$ : la limite est $0$ (gendarmes).
- $x^2 + \cos(x) \geqslant x^2 - 1 \to +\infty$ : la limite est $+\infty$ (comparaison).
- $\dfrac{3x + \sin(x)}{x} = 3 + \dfrac{\sin(x)}{x}$ et $\dfrac{\sin(x)}{x} \to 0$ par encadrement : la limite est $3$.
Soit $f(x) = x^3 + 2x - 5$ sur $\mathbb{R}$.
- Étudier le sens de variation de $f$ et donner ses limites en $-\infty$ et $+\infty$.
- Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que $\alpha \in [1 \,;\, 2]$, puis donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.
▶ Voir la solution
- $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Terme dominant $x^3$ : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
- $f$ est continue (polynôme), strictement croissante, et prend des valeurs négatives et positives : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
- $f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0$ et $f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 > 0$, donc $\alpha \in [1 \,;\, 2]$. À la calculatrice, $f(1{,}3) \approx -0{,}20 < 0$ et $f(1{,}4) \approx 0{,}54 > 0$, donc $1{,}3 < \alpha < 1{,}4$.