Fiche de cours : Fonctions.
La notion de fonction est l'un des objets les plus puissants des mathématiques, mais aussi l'un des plus délicats à conceptualiser. Une fonction n'est pas seulement une formule de calcul : c'est un objet mathématique à part entière, qu'on peut manipuler, comparer, transformer. Elle peut être donnée par un tableau de valeurs, une formule algébrique, une représentation graphique ou une description verbale d'une situation. Ces quatre points de vue désignent le même objet et doivent rester articulés.
Cette fiche aborde les fonctions en partant des confusions les plus fréquentes : on traitera la variable muette (la lettre dans $f(x)$ n'est qu'un emplacement), la distinction entre image et antécédent, l'opposition entre variation (la fonction augmente) et valeur (la fonction est positive), et la circulation entre les trois registres de représentation.
Une fonction $f$ d'un ensemble de départ vers un ensemble d'arrivée associe à chaque élément $x$ du départ un seul élément, noté $f(x)$, de l'arrivée. On dit que $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$, et que $x$ est un antécédent de $f(x)$.
Trois points clés.
Pour chacune des correspondances suivantes, dire si elle définit une fonction. Si non, expliquer pourquoi.
Une même fonction peut être représentée de trois façons complémentaires.
Maîtriser une fonction, c'est savoir circuler entre ces registres : passer du tableau à la formule, de la formule au graphique, du graphique à la lecture numérique. Chaque registre éclaire un aspect particulier que les autres laissent dans l'ombre.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 1$.
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ |
Une question de vocabulaire à ne jamais confondre.
L'image est unique ; les antécédents peuvent être multiples (ou inexistants). Lire un antécédent demande un sens de lecture inversé sur le graphique, ce qui est plus difficile que la lecture d'image.
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,4]$.
La fonction représentée est $f(x) = 0{,}5 x^2 - x - 1$.
Deux confusions à démêler.
Ces deux notions sont indépendantes : une fonction peut être croissante et négative, croissante et positive, décroissante et positive, etc.
On considère la fonction $f$ représentée ci-dessous, définie sur $[-3\,;\,3]$.
La fonction représentée est $f(x) = \dfrac{2}{3}x$.
Lorsqu'on écrit $f(x) = 2x + 3$, la lettre $x$ ne désigne pas un nombre particulier : elle joue le rôle d'emplacement réservé (en anglais « placeholder »). Si l'on remplace partout $x$ par $t$, ou par $n$, ou par $\heartsuit$, on définit exactement la même fonction. $$ f(x) = 2x + 3 \quad ; \quad f(t) = 2t + 3 \quad ; \quad f(\heartsuit) = 2 \heartsuit + 3. $$ Ce sont trois notations pour la même fonction, parce qu'elles définissent la même règle de calcul.
Le choix de la lettre est purement conventionnel. On utilise souvent $x$ par habitude, $t$ quand la variable représente un temps, $n$ quand elle représente un entier. Mais la fonction reste la même.
Parmi les définitions suivantes, regrouper celles qui définissent la même fonction.
Les fonctions $f$, $g$ et $k$ sont identiques (même règle de calcul, seul le nom de la variable diffère). La fonction $h$ est différente (le terme constant est $+1$ au lieu de $-1$). La fonction $\ell$ est encore différente (les coefficients sont opposés : $\ell(x) = -3x + 1$, alors que $f(x) = 3x - 1$).
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4$.
Avant d'être une formule, une fonction est souvent un lien entre deux grandeurs qui varient ensemble. Quand l'une augmente, l'autre augmente, diminue, ou reste constante. Cette manière de penser, dite de co-variation, prépare la compréhension de la dépendance fonctionnelle.
Quelques exemples : la distance parcourue dépend du temps écoulé ; le prix de l'essence dépend du nombre de litres achetés ; la hauteur de l'eau dans une baignoire dépend de la durée du remplissage.
Pour chaque situation, identifier les deux grandeurs en jeu, désigner celle qui dépend de l'autre, et écrire si possible la formule reliant les deux.
Le graphique ci-dessous représente la hauteur de l'eau (en cm) dans un récipient rempli régulièrement, en fonction du temps (en secondes).
Avant et pendant l'analyse d'une fonction, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.