Maîtriser les équations différentielles

Fiche de cours : Équations différentielles.

Pourquoi cette fiche ?

Les équations différentielles de terminale se résolvent avec deux formules seulement, et c'est précisément ce qui rend les erreurs si fréquentes : on applique la formule sans avoir mis l'équation sous la bonne forme, on oublie la constante, on prend $b$ pour la solution constante, ou l'on calcule $C$ comme si la constante d'équilibre n'existait pas.

Cette fiche isole chaque geste : vérifier qu'une fonction est solution, résoudre $y' = ay$ avec une condition initiale, démasquer les erreurs classiques, résoudre $y' = ay + b$ dans toutes ses écritures, exploiter une solution particulière, étudier une solution, puis modéliser deux situations concrètes, dont l'une fait intervenir le logarithme pour remonter le temps.

Vérifier

Rappel : deux calculs séparés

On calcule d'un côté $f'(x)$, de l'autre le membre de droite avec $f$ à la place de $y$, et l'on compare. Ne jamais partir de l'égalité à démontrer.

Exercice 1 · Solution ou pas ?

$f(x) = 5\,\mathrm{e}^{-2x}$ est-elle solution de $y' = -2y$ ?
$g(x) = 2\,\mathrm{e}^{3x} - 1$ est-elle solution de $y' = 3y + 3$ ?
$h(x) = \mathrm{e}^{x} + x + 1$ est-elle solution de $y' = y - x$ ?
$k(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{x}$ est-elle solution de $y' = y + \mathrm{e}^{x}$ ? de $y' = y + x\,\mathrm{e}^{x}$ ?

▶ Voir la solution

$f'(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$ et $-2f(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$ : oui.
$g'(x) = 6\,\mathrm{e}^{3x}$ et $3g(x) + 3 = 6\,\mathrm{e}^{3x} - 3 + 3 = 6\,\mathrm{e}^{3x}$ : oui.
$h'(x) = \mathrm{e}^{x} + 1$ et $h(x) - x = \mathrm{e}^{x} + 1$ : oui.
$k'(x) = \mathrm{e}^{x} + (x + 1)\,\mathrm{e}^{x} = k(x) + \mathrm{e}^{x}$ : solution de la première. Pour la seconde, il faudrait $k'(x) = k(x) + x\,\mathrm{e}^{x}$, or $k'(x) - k(x) = \mathrm{e}^{x} \neq x\,\mathrm{e}^{x}$ : non.

Résoudre $y' = ay$

Rappel : isoler $y'$ d'abord

Dans $2y' + y = 0$ ou $5y' = y$, le coefficient $a$ n'apparaît qu'une fois l'équation écrite $y' = a\,y$. La condition initiale se traite en dernier, en remplaçant $x$ par la valeur donnée dans $C\,\mathrm{e}^{ax}$.

Exercice 2 · Quatre équations, quatre conditions

Résoudre chaque équation sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant la condition donnée.

$y' = -4y$ et $y(0) = 3$.
$y' + 2y = 0$ et $y(1) = 2$.
$5y' = y$ et $y(0) = -1$.
$3y' - 2y = 0$ et $y(3) = 5$.

▶ Voir la solution

$y = C\,\mathrm{e}^{-4x}$ ; $C = 3$ : $y = 3\,\mathrm{e}^{-4x}$.
$y' = -2y$, $y = C\,\mathrm{e}^{-2x}$ ; $y(1) = C\,\mathrm{e}^{-2} = 2$, $C = 2\,\mathrm{e}^{2}$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{2 - 2x}$.
$y' = \dfrac{1}{5}y$, $y = C\,\mathrm{e}^{x/5}$ ; $C = -1$ : $y = -\mathrm{e}^{x/5}$.
$y' = \dfrac{2}{3}y$, $y = C\,\mathrm{e}^{2x/3}$ ; $y(3) = C\,\mathrm{e}^{2} = 5$, $C = 5\,\mathrm{e}^{-2}$ : $y = 5\,\mathrm{e}^{2x/3 - 2}$.

Démasquer les erreurs

Exercice 3 · Cinq raisonnements à corriger

Chaque raisonnement contient une erreur. La repérer et la corriger.

« $y' = 4y$ a pour solution $\mathrm{e}^{4x}$ ; celle qui vérifie $y(0) = 3$ est donc $\mathrm{e}^{4x} + 2$. »
« Les solutions de $y' = -2y + 8$ sont les fonctions $C\,\mathrm{e}^{-2x} + 8$. »
« $y' = 3y - 6$ avec $y(0) = 4$ : $y = C\,\mathrm{e}^{3x} + 2$, donc $C = 4$. »
« $2y' = 3y$, donc $a = 3$ et les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{3x}$. »
« Toutes les solutions de $y' = 2y + 6$ tendent vers $-3$ en $+\infty$. »

▶ Voir la solution

Les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{4x}$ ; ajouter $2$ ne donne pas une solution. Avec $y(0) = 3$ : $C = 3$ et $y = 3\,\mathrm{e}^{4x}$.
La solution constante est $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-2} = 4$, pas $8$ : solutions $C\,\mathrm{e}^{-2x} + 4$.
$y(0) = C + 2 = 4$ donne $C = 2$, pas $4$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{3x} + 2$.
Il faut isoler $y'$ : $y' = \dfrac{3}{2}y$, donc $a = \dfrac{3}{2}$ et les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{3x/2}$.
Avec $a = 2 > 0$, $\mathrm{e}^{2x} \to +\infty$ : seule la solution constante $-3$ reste en $-3$ ; les autres tendent vers $+\infty$ (si $C > 0$) ou $-\infty$ (si $C < 0$). La convergence vers l'équilibre n'a lieu que pour $a < 0$.

Résoudre $y' = ay + b$

Exercice 4 · Quatre écritures différentes

Résoudre chaque équation avec sa condition initiale.

$y' = 2y + 4$ et $y(0) = 1$.
$y' + 2y = 8$ et $y(0) = 0$.
$5y' = y - 10$ et $y(0) = 12$.
$y' = -y + 3$ et $y(\ln 2) = 1$.

▶ Voir la solution

Constante $-\dfrac{4}{2} = -2$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{2x} - 2$ ; $C - 2 = 1$, $C = 3$ : $y = 3\,\mathrm{e}^{2x} - 2$.
$y' = -2y + 8$, constante $4$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{-2x} + 4$ ; $C + 4 = 0$ : $y = 4 - 4\,\mathrm{e}^{-2x}$.
$y' = 0{,}2y - 2$, constante $\dfrac{2}{0{,}2} = 10$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{0{,}2x} + 10$ ; $C + 10 = 12$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{0{,}2x} + 10$.
Constante $3$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{-x} + 3$ ; $y(\ln 2) = C\,\mathrm{e}^{-\ln 2} + 3 = \dfrac{C}{2} + 3 = 1$, $C = -4$ : $y = 3 - 4\,\mathrm{e}^{-x}$.

Avec une solution particulière

Rappel : le principe

Si $\varphi$ est une solution particulière de $y' = ay + f(x)$, alors $y - \varphi$ est solution de $y' = ay$ : les solutions sont les $C\,\mathrm{e}^{ax} + \varphi(x)$.

Exercice 5 · Deux équations avec second membre

Vérifier que $\varphi(x) = \mathrm{e}^{x}$ est solution de $(E_1)$ : $y' = -y + 2\,\mathrm{e}^{x}$. En déduire toutes les solutions de $(E_1)$, puis celle qui vérifie $y(0) = 3$.
Vérifier que $\psi(x) = -x - 1$ est solution de $(E_2)$ : $y' = y + x$. En déduire toutes les solutions de $(E_2)$, puis celle qui vérifie $y(0) = 0$.

▶ Voir la solution

$\varphi'(x) = \mathrm{e}^{x}$ et $-\varphi(x) + 2\,\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x}$ : solution. Solutions de $(E_1)$ : $y = C\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}$. Avec $y(0) = C + 1 = 3$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}$.
$\psi'(x) = -1$ et $\psi(x) + x = -1$ : solution. Solutions de $(E_2)$ : $y = C\,\mathrm{e}^{x} - x - 1$. Avec $y(0) = C - 1 = 0$ : $y = \mathrm{e}^{x} - x - 1$. (On retrouve la fonction dont la positivité traduit l'inégalité $\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1$.)

Étudier une solution

Exercice 6 · Deux conditions initiales, deux destins

On considère l'équation $y' = 0{,}5y - 2$.

Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 3$ et la solution $g$ vérifiant $g(0) = 5$.
Étudier le sens de variation de $f$ et de $g$, puis leurs limites en $+\infty$.
Résoudre $f(x) = 0$.
Que se passe-t-il pour la solution vérifiant $y(0) = 4$ ? Expliquer pourquoi l'équilibre $4$ est dit instable.

▶ Voir la solution

Constante $-\dfrac{-2}{0{,}5} = 4$ ; solutions $C\,\mathrm{e}^{0{,}5x} + 4$. $f$ : $C + 4 = 3$, $f(x) = 4 - \mathrm{e}^{0{,}5x}$. $g$ : $C = 1$, $g(x) = 4 + \mathrm{e}^{0{,}5x}$.
$f'(x) = -0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x} < 0$ : $f$ décroissante, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. $g'(x) = 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x} > 0$ : $g$ croissante, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
$4 - \mathrm{e}^{0{,}5x} = 0 \iff \mathrm{e}^{0{,}5x} = 4 \iff x = 2\ln 4 = 4\ln 2 \approx 2{,}77$.
$C = 0$ : la solution est la constante $4$. Mais dès que la valeur initiale s'écarte de $4$, même très peu, la solution s'en éloigne indéfiniment (car $a > 0$) : l'équilibre ne « rattrape » pas les solutions voisines, il est instable. Pour $a < 0$ ce serait l'inverse.

Problèmes en contexte

Exercice 7 · Datation au carbone 14

Le nombre $N(t)$ de noyaux de carbone 14 dans un échantillon vérifie $N' = -\lambda\,N$, où $\lambda > 0$ est la constante de désintégration et $t$ est en années. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans : au bout de ce temps, la moitié des noyaux initiaux subsiste.

Exprimer $N(t)$ en fonction de $N_0 = N(0)$ et de $\lambda$.
Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur approchée.
Un échantillon ne contient plus que $25$ % de son carbone 14 initial. Quel est son âge ?
Un autre en contient encore $60$ %. Quel est son âge, à l'année près ?

▶ Voir la solution

$N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
$N(5730) = \dfrac{N_0}{2} \iff \mathrm{e}^{-5730\lambda} = \dfrac{1}{2} \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ par an.
$\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4} \iff t = \dfrac{\ln 4}{\lambda} = \dfrac{2\ln 2}{\ln 2} \times 5730 = 11\,460$ ans : deux demi-vies.
$\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}6 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}6}{\lambda} = \dfrac{5730\,\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 4\,223$ ans.

Exercice 8 · Vitesse d'un parachutiste

La vitesse $v(t)$ (en m/s) d'un parachutiste en chute, parachute ouvert, vérifie $v' = 10 - 0{,}5\,v$ ($t$ en secondes) : la gravité l'accélère, la résistance de l'air, proportionnelle à la vitesse, le freine.

Résoudre l'équation avec $v(0) = 0$ (saut depuis un point fixe, parachute déjà ouvert).
Déterminer la vitesse limite et le temps nécessaire pour atteindre $19$ m/s.
Le parachutiste ouvre en réalité son parachute alors qu'il tombe à $50$ m/s. Résoudre l'équation avec $v(0) = 50$, décrire l'évolution de la vitesse et calculer le temps nécessaire pour descendre à $22$ m/s.
Que retrouve-t-on dans les deux situations ?

▶ Voir la solution

$v' = -0{,}5v + 10$, constante $\dfrac{10}{0{,}5} = 20$ ; $v(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 20$ avec $C + 20 = 0$ : $v(t) = 20 - 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.
$\lim\limits_{t \to +\infty} v(t) = 20$ m/s : vitesse limite. $20 - 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 19 \iff \mathrm{e}^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{20} \iff t = 2\ln 20 \approx 6{,}0$ s.
$C + 20 = 50$, $C = 30$ : $v(t) = 20 + 30\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$. $v'(t) = -15\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} < 0$ : la vitesse décroît de $50$ vers $20$ m/s. $30\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 2 \iff t = 2\ln 15 \approx 5{,}4$ s.
La même vitesse limite $20$ m/s, atteinte par valeurs inférieures dans le premier cas, supérieures dans le second : la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ ne dépend pas de la condition initiale, seul $C$ en dépend.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Ai-je mis l'équation sous la forme $y' = ay + b$ avant de lire $a$ et $b$ ?
Ai-je écrit la solution constante $-\dfrac{b}{a}$, et non $b$ ?
Ma solution générale contient-elle bien une constante $C$ qui multiplie l'exponentielle ?
Pour calculer $C$, ai-je tenu compte de la constante $-\dfrac{b}{a}$ dans $y(x_0)$ ?
Ai-je vérifié ma solution en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation ?

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