Maîtriser le calcul littéral

Pourquoi cette fiche ?

Le passage du calcul numérique au calcul littéral est l'un des moments les plus délicats du collège. Une lettre comme $a$ ou $x$ n'est ni l'abréviation d'un mot, ni le nom d'un objet : c'est un nombre, dont on ne précise pas la valeur. L'écriture $3a$ ne désigne pas non plus la juxtaposition des chiffres $3$ et $a$ : c'est le produit $3 \times a$. Quant au signe « $=$ », il ne signifie pas « donne le résultat » comme en arithmétique, mais traduit une relation d'équivalence entre deux expressions qui désignent le même nombre.

Cette fiche aborde le calcul littéral en partant de ces malentendus pour les démasquer. Elle est organisée autour de cinq idées-forces : la lettre est un nombre, le signe égal est une relation, la substitution donne du sens à la lettre, certaines expressions sont déjà sous leur forme la plus simple, et la distributivité a une interprétation géométrique.

La lettre est un nombre

Rappel : ce qu'une lettre désigne, et ce qu'elle ne désigne pas

Dans une expression algébrique, une lettre désigne toujours un nombre dont on ne précise pas la valeur (ou qui peut prendre plusieurs valeurs). Trois confusions à éviter.

La lettre n'est pas une abréviation : dans « $3a$ », la lettre $a$ ne signifie pas « abricot » ni « animal ». C'est un nombre.
La lettre n'est pas une étiquette d'objet : si l'on note $p$ le prix d'un crayon, la lettre $p$ représente le nombre d'euros, pas le crayon lui-même. Écrire « $5p$ » ne signifie pas « $5$ crayons », mais « $5$ fois le prix d'un crayon ».
« $3a$ » n'est pas la concaténation des chiffres $3$ et $a$ : si $a$ vaut $1$, alors $3a$ vaut $3$ (et non $31$). L'écriture $3a$ est un produit : $3a = 3 \times a$.

Exercice 1 · Décoder une écriture algébrique

Pour chacune des écritures suivantes, donner sa signification en toutes lettres (sous forme d'une opération entre nombres).

a) $5x$
b) $\dfrac{a}{2}$
c) $a + b$
d) $2x + 3$
e) $x^2$
f) $-3a$

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$5x$ désigne le produit $5 \times x$, c'est-à-dire $5$ fois le nombre $x$.
$\dfrac{a}{2}$ désigne le quotient $a \div 2$, c'est-à-dire la moitié du nombre $a$.
$a + b$ désigne la somme du nombre $a$ et du nombre $b$.
$2x + 3$ désigne le double du nombre $x$, augmenté de $3$.
$x^2$ désigne le produit $x \times x$, c'est-à-dire le carré du nombre $x$.
$-3a$ désigne l'opposé du triple du nombre $a$, ou de manière équivalente $-3 \times a$.

Exercice 2 · Démasquer la concaténation

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

Si $a = 1$, alors $3a = 31$.
Si $a = 5$, alors $2a = 25$.
Si $x = 0$, alors $7x = 0$.
Si $b = 1$, alors $b + b = 11$.

▶ Voir la solution

Faux. L'élève qui répond $31$ traite $3a$ comme la juxtaposition des chiffres $3$ et $a$ (numération de position). Or $3a = 3 \times a = 3 \times 1 = 3$.
Faux. De même, $2a = 2 \times 5 = 10$, et non $25$.
Vrai. $7x = 7 \times 0 = 0$. Tout produit par $0$ vaut $0$.
Faux. $b + b = 1 + 1 = 2$. Additionner deux $1$ donne $2$, pas $11$.

Exercice 3 · Lettre-objet ou lettre-nombre ?

Léa lit l'énoncé suivant : « $p$ désigne le prix d'un crayon en euros. Écrire le prix de $5$ crayons en fonction de $p$. » Elle écrit : « $5$ crayons coûtent $5p$ euros, donc $p$ vaut $5$ crayons ».

Identifier la confusion commise par Léa.
Écrire correctement ce que représente $p$, et ce que représente $5p$.

▶ Voir la solution

Léa traite la lettre $p$ comme une étiquette désignant l'objet « crayon », alors que $p$ désigne le nombre d'euros que coûte un crayon.
$p$ représente un nombre (le prix d'un crayon, exprimé en euros). $5p$ représente $5$ fois ce prix, c'est-à-dire le prix total de $5$ crayons.

Le signe égal : opérateur ou relation ?

Rappel : deux conceptions du signe « $=$ »

En arithmétique, on utilise souvent le signe $=$ pour signifier « donne le résultat » : $3 + 5 = 8$. Mais cette conception est trop pauvre pour le calcul littéral.

En algèbre, le signe $=$ exprime une équivalence : deux expressions désignent le même nombre, quelles que soient les valeurs des lettres. L'égalité fonctionne alors dans les deux sens. $$ 2(x + 3) = 2x + 6. $$ Cette égalité signifie que les deux expressions sont strictement équivalentes : pour toute valeur de $x$, elles donnent le même nombre. On peut donc écrire $2x + 6 = 2(x + 3)$ tout aussi bien.

Conséquence pratique. Une expression peut figurer indifféremment à gauche ou à droite du signe $=$, et l'égalité $3 + 5 = ? + 2$ a un sens (avec $? = 6$) parce que « $=$ » exprime « de chaque côté, on a la même quantité », pas « à gauche, on attend le résultat à droite ».

Exercice 4 · Compléter pour rendre l'égalité vraie

Compléter les égalités suivantes par un nombre qui les rend vraies.

a) $3 + 5 = ? + 2$
b) $7 - 4 = 1 + ?$
c) $? \times 4 = 12$
d) $9 + ? = 4 + 8$
e) $? + ? = 10$ (deux nombres égaux)
f) $2 \times 5 = ? - 3$

▶ Voir la solution

$3 + 5 = 8$, et $? + 2 = 8$, donc $? = 6$.
$7 - 4 = 3$, donc $? = 2$.
$? = 3$.
$4 + 8 = 12$, donc $? = 3$.
Le nombre cherché est $5$, deux fois.
$2 \times 5 = 10$, donc $? = 13$.

Exercice 5 · Vrai ou faux sur des égalités algébriques

Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle est vraie pour toute valeur de la lettre, ou seulement pour certaines valeurs (à préciser).

$2(x + 3) = 2x + 6$
$x + 5 = 12$
$x + x = 2x$
$3x = 9$
$x \times 0 = 0$
$x + 1 = x$

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Vraie pour tout $x$. C'est la distributivité : les deux expressions sont équivalentes.
Vraie seulement pour $x = 7$. C'est une équation, pas une égalité algébrique.
Vraie pour tout $x$. On a bien $x + x = 2x$ par définition de la multiplication.
Vraie seulement pour $x = 3$.
Vraie pour tout $x$. Tout produit par $0$ vaut $0$.
Vraie pour aucune valeur de $x$. Ajouter $1$ donne nécessairement un nombre différent.

Substitution : la lettre prend une valeur

Rappel : donner du sens à la lettre en la remplaçant par un nombre

La meilleure façon de comprendre une expression algébrique est de substituer la lettre par différentes valeurs et d'observer le résultat. Cette pratique a deux vertus.

Elle ancre la lettre comme nombre, et non comme symbole abstrait.
Elle permet de vérifier une égalité algébrique : si l'égalité est vraie, elle l'est pour n'importe quelle valeur testée. Si l'on trouve une valeur pour laquelle l'égalité est fausse, alors l'égalité est globalement fausse.

Exercice 6 · Calculer une expression pour plusieurs valeurs

Soit $A = 3x + 2$. Calculer la valeur de $A$ pour les valeurs de $x$ suivantes.

a) $x = 0$
b) $x = 1$
c) $x = 2$
d) $x = -1$
e) $x = 5$
f) $x = \dfrac{1}{2}$

▶ Voir la solution

$A = 3 \times 0 + 2 = 2$.
$A = 3 \times 1 + 2 = 5$.
$A = 3 \times 2 + 2 = 8$.
$A = 3 \times (-1) + 2 = -3 + 2 = -1$.
$A = 3 \times 5 + 2 = 17$.
$A = 3 \times \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}$.

Exercice 7 · Vérifier une égalité par substitution

Pour chacune des égalités suivantes, vérifier si elle est vraie en testant deux valeurs distinctes de $x$ (par exemple $x = 0$ et $x = 1$). Si l'égalité est fausse pour au moins une valeur, conclure qu'elle est fausse.

$2(x + 5) = 2x + 10$
$(x + 1)^2 = x^2 + 1$
$3x + 2x = 5x$
$4x - x = 4$
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x$

▶ Voir la solution

Pour $x = 0$ : gauche $= 2 \times 5 = 10$, droite $= 0 + 10 = 10$. Pour $x = 1$ : gauche $= 2 \times 6 = 12$, droite $= 2 + 10 = 12$. L'égalité est cohérente sur ces deux valeurs (et l'on prouve qu'elle est vraie pour tout $x$ par distributivité).
Pour $x = 0$ : gauche $= 1$, droite $= 0 + 1 = 1$. Pour $x = 1$ : gauche $= 4$, droite $= 1 + 1 = 2$. L'égalité est fausse (le contre-exemple $x = 1$ suffit).
Pour $x = 0$ : gauche $= 0$, droite $= 0$. Pour $x = 1$ : gauche $= 5$, droite $= 5$. Cohérent sur ces deux valeurs (l'égalité est vraie pour tout $x$).
Pour $x = 0$ : gauche $= 0$, droite $= 4$. L'égalité est fausse dès $x = 0$. L'erreur consiste à confondre $4x - x$ avec $4 - 1 = 3$ ou $4$, alors que $4x - x = 3x$.
Pour $x = 2$ : gauche $= 1 + 1 = 2$, droite $= 2$. Pour $x = 4$ : gauche $= 2 + 2 = 4$, droite $= 4$. Cohérent sur ces deux valeurs (l'égalité est vraie pour tout $x$).

Programmes de calcul : généraliser une procédure

Rappel : de l'exemple à la formule

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquée à un nombre de départ. En testant le programme sur plusieurs nombres, on peut conjecturer un résultat général. Pour le prouver, on remplace le nombre de départ par une lettre et l'on déroule le programme algébriquement.

Exercice 8 · Conjecturer puis prouver

On considère le programme de calcul suivant.

Choisir un nombre.
Lui ajouter $5$.
Multiplier le résultat par $2$.
Soustraire $10$.
Diviser le résultat par $2$.

Tester le programme avec les nombres $3$, $7$ et $-1$. Que remarque-t-on ?
Conjecturer ce que fait ce programme.
Prouver la conjecture en remplaçant le nombre de départ par $x$ et en déroulant le calcul.

▶ Voir la solution

Avec $3$ : $3 \to 8 \to 16 \to 6 \to 3$. Avec $7$ : $7 \to 12 \to 24 \to 14 \to 7$. Avec $-1$ : $-1 \to 4 \to 8 \to -2 \to -1$. Le programme semble redonner le nombre de départ.
Conjecture : le programme rend le nombre choisi.
En partant de $x$ : $x \to x + 5 \to 2(x + 5) = 2x + 10 \to 2x + 10 - 10 = 2x \to \dfrac{2x}{2} = x$. On retrouve bien $x$.

Exercice 9 · Prouver une régularité

Choisir trois nombres consécutifs (par exemple $5$, $6$, $7$). Calculer leur somme.
Recommencer avec $10$, $11$, $12$. Calculer leur somme.
Recommencer avec $-2$, $-1$, $0$. Calculer leur somme.
Conjecturer une propriété générale.
Prouver la conjecture en notant $n$ le plus petit des trois nombres consécutifs.

▶ Voir la solution

$5 + 6 + 7 = 18 = 3 \times 6$.
$10 + 11 + 12 = 33 = 3 \times 11$.
$-2 + (-1) + 0 = -3 = 3 \times (-1)$.
Conjecture : la somme de trois nombres consécutifs est $3$ fois le nombre du milieu.
Les trois consécutifs sont $n$, $n + 1$, $n + 2$. Leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$. Or $n + 1$ est le nombre du milieu, donc la somme est bien $3$ fois le nombre du milieu.

Réduire une expression : quand peut-on, quand ne peut-on pas ?

Rappel : le besoin de clôture : une expression peut rester « ouverte »

Face à une expression comme $3x + 2$, certains élèves cherchent à tout prix à la simplifier en un seul terme, par exemple en écrivant $3x + 2 = 5x$. Cette erreur traduit un besoin de clôture : l'élève veut une réponse « finie », sans terme restant.

Or, $3x + 2$ est déjà sous sa forme la plus simple. Le terme $3x$ contient une lettre, le terme $2$ n'en contient pas : ils ne sont pas semblables et ne peuvent pas être réduits ensemble. C'est analogue à la situation où l'on additionnerait $3$ pommes et $2$ ans : les unités ne sont pas comparables.

Règle. On peut réduire deux termes seulement s'ils sont semblables, c'est-à-dire s'ils ont la même partie littérale. $$ 3x + 2x = 5x \quad ; \quad 4y - y = 3y \quad ; \quad 3x + 2 \text{ ne se réduit pas}. $$

Exercice 10 · Démasquer le besoin de clôture

Voici quatre productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Si elle est incorrecte, identifier l'erreur et donner le résultat juste.

$3x + 2 = 5x$
$4a - 2a = 2a$
$5y + 3y = 8y^2$
$7x + 2 - 3x = 4x + 2$

▶ Voir la solution

Incorrect. L'élève additionne $3x$ et $2$, qui ne sont pas des termes semblables. L'expression $3x + 2$ est déjà sous sa forme la plus simple : on ne peut pas la réduire davantage.
Correct. $4a$ et $2a$ sont semblables (même lettre, même puissance). $4a - 2a = 2a$.
Incorrect. L'élève a additionné les exposants alors qu'on additionne des termes semblables. Le bon calcul : $5y + 3y = 8y$ (et non $8y^2$).
Correct. On regroupe les termes semblables : $7x - 3x = 4x$, et le terme $+2$ reste seul. L'expression $4x + 2$ est sous sa forme la plus simple.

Exercice 11 · Réduire ce qui peut l'être

Réduire chacune des expressions suivantes, lorsque c'est possible. Sinon, indiquer que l'expression est déjà sous forme réduite.

a) $5x + 3x$
b) $4a + 7$
c) $6y - 2y + 3y$
d) $2x + 5 - x + 1$
e) $3a + 2b$
f) $8t - 5t - 3t$

▶ Voir la solution

$5x + 3x = 8x$.
$4a + 7$ est déjà sous forme réduite (les deux termes ne sont pas semblables).
$6y - 2y + 3y = 7y$.
$2x - x + 5 + 1 = x + 6$.
$3a + 2b$ est déjà sous forme réduite ($a$ et $b$ ne sont pas la même lettre).
$8t - 5t - 3t = 0$.

Distributivité simple

Rappel : multiplier une somme par un facteur

La distributivité traduit le fait que multiplier un facteur par une somme revient à multiplier ce facteur par chaque terme, puis à additionner les résultats. $$ k(a + b) = ka + kb \quad ; \quad k(a - b) = ka - kb. $$ On peut justifier cette règle par le calcul d'une aire : un rectangle de longueur $a + b$ et de largeur $k$ a pour aire $k(a + b)$, et il se découpe en deux rectangles d'aires $ka$ et $kb$.

Exercice 12 · Développer une expression

Développer chaque expression.

a) $3(x + 4)$
b) $5(a - 2)$
c) $2(3y + 1)$
d) $-4(x + 7)$
e) $-(2a + 5)$
f) $\dfrac{1}{2}(6x - 8)$

▶ Voir la solution

$3(x + 4) = 3x + 12$.
$5(a - 2) = 5a - 10$.
$2(3y + 1) = 6y + 2$.
$-4(x + 7) = -4x - 28$.
$-(2a + 5) = -2a - 5$.
$\dfrac{1}{2}(6x - 8) = 3x - 4$.

Exercice 13 · Factoriser une expression

Factoriser chacune des expressions suivantes en mettant en facteur le nombre indiqué.

$5x + 10$ (facteur $5$)
$6a - 9$ (facteur $3$)
$4y + 12$ (facteur $4$)
$14x - 7$ (facteur $7$)
$-3a + 6$ (facteur $3$)

▶ Voir la solution

$5x + 10 = 5(x + 2)$.
$6a - 9 = 3(2a - 3)$.
$4y + 12 = 4(y + 3)$.
$14x - 7 = 7(2x - 1)$.
$-3a + 6 = 3(-a + 2)$, ou de manière équivalente $-3(a - 2)$.

Double distributivité

Rappel : multiplier deux sommes entre elles

Lorsqu'on multiplie deux sommes, chaque terme de la première est multiplié par chaque terme de la seconde. $$ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. $$ Comme pour la distributivité simple, cette règle s'interprète par les aires : un rectangle de longueur $a + b$ et de largeur $c + d$ se découpe en quatre sous-rectangles d'aires $ac$, $ad$, $bc$ et $bd$.

Exercice 14 · Développer un produit

Développer et réduire chacune des expressions suivantes.

a) $(x + 2)(x + 3)$
b) $(a + 5)(a - 4)$
c) $(2y + 1)(y + 7)$
d) $(3x - 2)(x + 1)$

▶ Voir la solution

$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.
$(a + 5)(a - 4) = a^2 - 4a + 5a - 20 = a^2 + a - 20$.
$(2y + 1)(y + 7) = 2y^2 + 14y + y + 7 = 2y^2 + 15y + 7$.
$(3x - 2)(x + 1) = 3x^2 + 3x - 2x - 2 = 3x^2 + x - 2$.

Exercice 15 · Démasquer une erreur sur le carré

Un élève écrit : $(x + 3)^2 = x^2 + 9$.

Vérifier cette égalité par substitution avec $x = 1$, $x = 2$ et $x = -1$. Que constate-t-on ?
Donner le développement correct de $(x + 3)^2$.

▶ Voir la solution

Pour $x = 1$ : gauche $= 4^2 = 16$, droite $= 1 + 9 = 10$. Pour $x = 2$ : gauche $= 25$, droite $= 13$. Pour $x = -1$ : gauche $= 4$, droite $= 10$. Les valeurs ne coïncident jamais : l'égalité est fausse.
Par double distributivité : $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$. Le terme $6x$, oublié par l'élève, est précisément ce qu'on appelle le double produit.

Lettres et valeurs

Rappel : deux lettres différentes peuvent désigner le même nombre

Une croyance fréquente consiste à supposer que deux lettres distinctes désignent nécessairement des nombres différents. C'est faux : les lettres sont des étiquettes qu'on a choisies pour désigner des nombres, et rien n'interdit que deux étiquettes nomment le même nombre.

Si l'on écrit $a + b = 10$, les couples $(a\,;\,b)$ qui conviennent sont multiples : $(0\,;\,10)$, $(3\,;\,7)$, $(5\,;\,5)$, $(-2\,;\,12)$, etc. Le couple $(5\,;\,5)$ est tout à fait acceptable : $a$ et $b$ valent tous deux $5$, mais cela n'empêche pas de les avoir nommés différemment.

À l'inverse, deux occurrences de la même lettre dans une expression désignent toujours le même nombre. Dans $3x + 2x$, les deux $x$ ont obligatoirement la même valeur.

Exercice 16 · Trouver des couples solutions

Donner trois couples $(a\,;\,b)$ d'entiers tels que $a + b = 8$. L'un de ces couples peut-il vérifier $a = b$ ?
Donner trois couples $(x\,;\,y)$ tels que $x \times y = 12$. L'un de ces couples peut-il vérifier $x = y$ ?
Si $a + b = a + c$, peut-on en déduire que $b = c$ ? Justifier.

▶ Voir la solution

Par exemple $(0\,;\,8)$, $(3\,;\,5)$, $(4\,;\,4)$. Le dernier vérifie bien $a = b = 4$.
Par exemple $(1\,;\,12)$, $(3\,;\,4)$, $(2\,;\,6)$. Pour avoir $x = y$, il faudrait $x^2 = 12$, donc $x = \sqrt{12}$ ou $x = -\sqrt{12}$, qui ne sont pas des entiers mais qui sont des nombres acceptables ; par exemple, le couple $(\sqrt{12}\,;\,\sqrt{12})$ convient.
Oui, en soustrayant $a$ aux deux membres, on obtient $b = c$. Le signe $=$ étant une relation, on peut faire la même opération des deux côtés.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Avant de manipuler une expression algébrique, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

Que représente cette lettre ? Un nombre, et non un mot ou un objet.
L'écriture $3a$ désigne-t-elle bien le produit $3 \times a$, et non la juxtaposition des chiffres ?
Les termes que je veux regrouper sont-ils semblables (même partie littérale) ? Sinon, l'expression reste sous forme « ouverte ».
Le signe $=$ que j'utilise exprime-t-il une équivalence valable pour toute valeur, ou une équation à résoudre pour une valeur particulière ?
Puis-je vérifier mon calcul par substitution, en remplaçant la lettre par une valeur simple ($0$, $1$, $-1$) ?

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