Maîtriser les suites numériques

Pourquoi cette fiche ?

Une suite décrit une évolution par étapes. Deux familles reviennent partout : les suites arithmétiques, où l'on ajoute toujours le même nombre, et les suites géométriques, où l'on multiplie toujours par le même nombre. La principale difficulté est de ne pas les confondre, et de bien distinguer une suite définie explicitement (par une formule en $n$) d'une suite définie par récurrence (chaque terme à partir du précédent).

Cette fiche reprend chaque savoir-faire : calculer des termes, reconnaître la nature d'une suite, utiliser les formules des suites arithmétiques et géométriques, étudier le sens de variation, et résoudre un problème concret.

Calculer les termes d'une suite

Rappel : explicite ou par récurrence

Si $u_n$ est donné par une formule en $n$ (forme explicite), on remplace directement $n$ par sa valeur. Si la suite est définie par récurrence ($u_{n+1}$ en fonction de $u_n$), il faut calculer les termes de proche en proche.

Exercice 1 · Calculer des termes

$u_n = 2n^2 - 3$. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_4$.
$v_0 = 5$ et $v_{n+1} = 2 v_n + 1$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
$w_n = \dfrac{n - 1}{n + 1}$. Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

▶ Voir la solution

$u_0 = 2 \times 0 - 3 = -3$ ; $u_1 = 2 \times 1 - 3 = -1$ ; $u_4 = 2 \times 16 - 3 = 29$.
$v_1 = 2 \times 5 + 1 = 11$ ; $v_2 = 2 \times 11 + 1 = 23$ ; $v_3 = 2 \times 23 + 1 = 47$.
$w_0 = \dfrac{-1}{1} = -1$ ; $w_1 = \dfrac{0}{2} = 0$ ; $w_2 = \dfrac{1}{3}$.

Reconnaître la nature d'une suite

Rappel : différences ou quotients constants

On calcule les différences entre termes consécutifs : si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique (la valeur commune est la raison $r$). Sinon, on calcule les quotients : s'ils sont tous égaux, la suite est géométrique (la valeur commune est la raison $q$). Si ni l'un ni l'autre, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Exercice 2 · Quelle nature ?

Pour chaque suite, calculer les premiers termes et préciser sa nature.

$u_n = 4n - 1$
$v_n = 3 \times 2^n$
$w_n = n^2 + 1$

▶ Voir la solution

$u_0 = -1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 7$, $u_3 = 11$ : les différences valent $4$, la suite est arithmétique de raison $r = 4$.
$v_0 = 3$, $v_1 = 6$, $v_2 = 12$, $v_3 = 24$ : chaque terme est le double du précédent, la suite est géométrique de raison $q = 2$.
$w_0 = 1$, $w_1 = 2$, $w_2 = 5$, $w_3 = 10$ : les différences ($1$, $3$, $5$) ne sont pas constantes et les quotients non plus : la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Suites arithmétiques

Rappel : terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ : $u_n = u_0 + n\,r$. Cette formule permet de calculer n'importe quel terme sans passer par tous les précédents, et de retrouver le rang d'un terme donné.

Exercice 3 · Utiliser le terme général

$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -2$. Exprimer $u_n$, puis calculer $u_{10}$.
$(v_n)$ est arithmétique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $r = 5$. Déterminer le rang $n$ tel que $v_n = 48$.

▶ Voir la solution

$u_n = 7 - 2n$, donc $u_{10} = 7 - 2 \times 10 = -13$.
$v_n = 3 + 5n$. On résout $3 + 5n = 48 \iff 5n = 45 \iff n = 9$. Donc $v_9 = 48$.

Suites géométriques

Rappel : terme général d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ : $u_n = u_0 \times q^n$. Attention à ne pas confondre avec $u_0 \times q \times n$ : c'est bien $q$ à la puissance $n$.

Exercice 4 · Utiliser le terme général

$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Exprimer $u_n$, puis calculer $u_5$.
$(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 64$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$. Exprimer $v_n$, puis calculer $v_4$.

▶ Voir la solution

$u_n = 2 \times 3^n$, donc $u_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486$.
$v_n = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, donc $v_4 = 64 \times \dfrac{1}{16} = 4$.

Sens de variation

Rappel : comparer à la raison

Une suite arithmétique est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$. Une suite géométrique de premier terme positif est croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$. On peut aussi étudier directement le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Exercice 5 · Croissante ou décroissante ?

Préciser le sens de variation de chaque suite, en justifiant.

$u_n = 5 - 3n$
$(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 1{,}5$
$(w_n)$ géométrique de premier terme $w_0 = 100$ et de raison $q = 0{,}8$

▶ Voir la solution

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r = -3 < 0$ : elle est décroissante.
$v_0 = 2 > 0$ et $q = 1{,}5 > 1$ : la suite est croissante.
$w_0 = 100 > 0$ et $0 < q = 0{,}8 < 1$ : la suite est décroissante.

Un problème concret

Rappel : reconnaître la bonne famille

Une évolution « $+$ une même quantité » à chaque étape se modélise par une suite arithmétique ; une évolution « $\times$ un même coefficient » (un pourcentage) à chaque étape se modélise par une suite géométrique.

Exercice 6 · Salaire et valeur d'une voiture

Un salaire mensuel est de $1800$ € au départ et augmente de $60$ € chaque année. On note $S_n$ le salaire après $n$ années. Justifier que $(S_n)$ est arithmétique, exprimer $S_n$, puis calculer $S_5$.
Une voiture vaut $18\,000$ € et perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. On note $V_n$ sa valeur après $n$ années. Justifier que $(V_n)$ est géométrique, exprimer $V_n$, puis calculer $V_3$ (arrondir à l'euro).

▶ Voir la solution

Chaque année, on ajoute le même montant $60$ : $(S_n)$ est arithmétique de premier terme $S_0 = 1800$ et de raison $r = 60$. Donc $S_n = 1800 + 60n$, et $S_5 = 1800 + 60 \times 5 = 2100$ €.
Perdre $15\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ chaque année : $(V_n)$ est géométrique de premier terme $V_0 = 18\,000$ et de raison $q = 0{,}85$. Donc $V_n = 18\,000 \times 0{,}85^{\,n}$, et $V_3 = 18\,000 \times 0{,}85^3 = 18\,000 \times 0{,}614125 \approx 11\,054$ €.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Avant et pendant un exercice sur les suites, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

La suite est-elle donnée explicitement (formule en $n$) ou par récurrence (terme suivant à partir du précédent) ?
Pour reconnaître la nature, ai-je comparé les différences (arithmétique) puis les quotients (géométrique) ?
Pour une suite géométrique, ai-je bien écrit $u_0 \times q^n$ (puissance) et non $u_0 \times q \times n$ ?
Pour le sens de variation, ai-je comparé $r$ à $0$, ou $q$ à $1$ (avec un premier terme positif) ?
Dans un problème, l'évolution est-elle additive (arithmétique) ou multiplicative, c'est-à-dire en pourcentage (géométrique) ?

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