Fiche de cours : Second degré.
Le second degré repose sur un seul outil, le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$, mais cet outil répond à trois questions différentes que l'on confond souvent : combien l'équation a-t-elle de solutions, comment factoriser le trinôme, et quel est son signe. La plupart des erreurs ne viennent pas du calcul de $\Delta$, mais d'une mauvaise lecture de la question posée, ou d'une faute de signe sur $b^2$ ou sur le coefficient $a$.
Cette fiche reprend chaque savoir-faire séparément, du plus simple (identifier les coefficients) au plus complet (résoudre une inéquation, mettre un problème en équation). Travaille chaque exercice sans calculatrice quand c'est possible, et vérifie systématiquement tes solutions.
Un trinôme du second degré s'écrit $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Avant tout calcul, il faut repérer les trois coefficients avec leur signe, et penser aux coefficients nuls : dans $2x^2 - x$, on a $b = -1$ et $c = 0$ ; dans $5 - 2x^2$, on a $a = -2$, $b = 0$ et $c = 5$.
Pour chaque trinôme, donner $a$, $b$ et $c$.
On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$, en faisant bien attention : $b^2$ est toujours positif (le carré d'un nombre négatif est positif). Ensuite : si $\Delta > 0$, deux racines ; si $\Delta = 0$, une racine double ; si $\Delta < 0$, aucune racine réelle.
Calculer $\Delta$ et préciser le nombre de racines.
On identifie $a$, $b$, $c$ ; on calcule $\Delta$ ; puis on conclut. Si $\Delta > 0$, les racines sont $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$, la racine double est $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$. Bien diviser par $2a$, et non par $a$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$.
Si $\Delta > 0$ avec les racines $x_1$ et $x_2$, alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Si $\Delta = 0$ avec la racine double $x_0$, alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$, le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
Factoriser les trinômes suivants.
Lorsque $\Delta > 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Lorsque $\Delta = 0$, il est du signe de $a$ partout, et s'annule en la racine double. Lorsque $\Delta < 0$, il est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier (il ne s'annule jamais).
Étudier le signe des trinômes suivants.
Les racines sont $2$ et $5$, et $a = 1 > 0$ : le trinôme est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles, ce que résume le tableau de signes :
Le discriminant est $\Delta = 16 - 12 = 4$, les racines sont $1$ et $3$, et $a = -1 < 0$ : le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles :
Pour résoudre une inéquation comme $ax^2 + bx + c > 0$, on étudie d'abord le signe du trinôme, puis on lit l'ensemble des $x$ qui conviennent. Attention aux bornes : $>$ et $<$ donnent des intervalles ouverts, $\geqslant$ et $\leqslant$ incluent les racines.
Résoudre dans $\mathbb{R}$.
On choisit l'inconnue, on traduit l'énoncé par une équation du second degré, on résout, puis on garde seulement les solutions qui ont un sens dans le contexte (par exemple une longueur ne peut pas être négative).
Résoudre chaque problème en posant une équation.
Avant et pendant la résolution d'un exercice sur le second degré, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.