Maîtriser les puissances

Fiche de cours : Puissances.

Pourquoi cette fiche ?

L'écriture $a^n$ est une notation condensée pour un produit. Elle ne désigne ni une multiplication entre $a$ et $n$, ni leur somme : c'est la multiplication de $a$ par lui-même $n$ fois. Cette définition simple cache plusieurs pièges. Le sens des parenthèses devient crucial ($(-2)^2$ et $-2^2$ ne sont pas le même nombre), les règles de calcul ne sont pas commutatives entre l'addition et la mise au carré ($(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$), et certaines conventions ($a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$) demandent à être justifiées plutôt qu'apprises par cœur.

Cette fiche propose une progression en cinq temps : revenir au sens de la notation par dépliage, examiner le rôle des parenthèses, manipuler les règles de calcul, démasquer les généralisations abusives, et justifier les conventions par la régularité des suites de puissances.

Définir une puissance par dépliage

Rappel : une notation condensée pour un produit répété

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n$ strictement positif, la puissance $n$-ième de $a$ est définie par : $$ a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{n \text{ facteurs}}. $$ Le nombre $a$ est appelé la base, et le nombre $n$ l'exposant. Ainsi : $$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \quad ; \quad 5^2 = 5 \times 5 = 25 \quad ; \quad 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000. $$

Erreur fréquente. L'élève qui lit $2^3$ comme $2 \times 3 = 6$ confond la puissance avec la multiplication. La notation est compacte : il faut toujours penser à la déplier pour retrouver le sens.

Exercice 1 · Calculer en dépliant

Pour chaque puissance, écrire d'abord le produit répété, puis donner le résultat.

a) $2^4$
b) $3^3$
c) $5^3$
d) $10^5$
e) $1^{100}$
f) $7^2$
g) $4^3$
h) $0^5$
i) $2^7$

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$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
$10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100\,000$.
$1^{100} = 1$ ($1$ multiplié par lui-même donne toujours $1$).
$7^2 = 7 \times 7 = 49$.
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
$0^5 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$.
$2^7 = 128$ (en doublant successivement : $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$).

Exercice 2 · Démasquer la confusion puissance/multiplication

Voici quatre productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Sinon, identifier l'erreur et donner le résultat juste.

$2^3 = 6$
$5^2 = 10$
$4^2 = 16$
$3^4 = 12$

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Incorrect. L'élève a fait $2 \times 3 = 6$. Or $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Incorrect. L'élève a fait $5 \times 2 = 10$. Or $5^2 = 5 \times 5 = 25$.
Correct. $4^2 = 4 \times 4 = 16$.
Incorrect. L'élève a fait $3 \times 4 = 12$. Or $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

Le rôle des parenthèses : $(-2)^2$ et $-2^2$ ne sont pas le même nombre

Rappel : une parenthèse change tout

La présence ou l'absence de parenthèses autour d'un nombre négatif modifie radicalement la valeur d'une puissance.

Dans $(-2)^2$, le signe moins est inclus dans la base. On élève $-2$ au carré : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.
Dans $-2^2$, par convention sur la priorité des opérations, la puissance est évaluée avant le signe moins. On calcule d'abord $2^2 = 4$, puis on prend l'opposé : $-2^2 = -4$.

Plus généralement, $(-a)^n$ et $-a^n$ ne sont en général pas égaux. La parenthèse marque le périmètre de l'élévation à la puissance.

Exercice 3 · Avec ou sans parenthèses

Calculer chacune des expressions suivantes. Mettre en évidence l'effet des parenthèses.

a) $(-3)^2$
b) $-3^2$
c) $(-3)^3$
d) $-3^3$
e) $(-1)^{10}$
f) $-1^{10}$
g) $(-5)^2$
h) $-5^2$
i) $(-2)^4$

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$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$.
$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.
$-3^3 = -(3 \times 3 \times 3) = -27$ (ici les deux notations donnent le même résultat, car l'exposant est impair).
$(-1)^{10} = 1$ (un produit de $10$ facteurs $-1$, soit $5$ paires de $(-1) \times (-1) = 1$).
$-1^{10} = -(1^{10}) = -1$.
$(-5)^2 = 25$.
$-5^2 = -25$.
$(-2)^4 = (-2)^2 \times (-2)^2 = 4 \times 4 = 16$.

Exercice 4 · Pair ou impair ?

Sans calculer, indiquer pour chaque expression si le résultat est positif ou négatif. Justifier en fonction de la parité de l'exposant.

a) $(-7)^4$
b) $(-7)^5$
c) $(-2)^{10}$
d) $(-2)^{11}$
e) $(-1)^{2026}$
f) $(-1)^{2027}$

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Positif (exposant pair).
Négatif (exposant impair).
Positif.
Négatif.
Positif.
Négatif.

Règle générale : pour un nombre négatif $-a$ ($a > 0$), $(-a)^n$ est positif si $n$ est pair, négatif si $n$ est impair.

Règles de calcul sur les puissances

Rappel : trois règles fondamentales

Pour deux entiers $m$ et $n$, et un nombre $a$ non nul, on a :

Produit de deux puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
Quotient de deux puissances de même base : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Puissance d'une puissance : $\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}$.

Ces règles se justifient toutes par le dépliage. Par exemple : $$ a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a) = a^5 = a^{3+2}. $$ Tant qu'on doute, on peut revenir au dépliage pour reconstruire la règle.

Exercice 5 · Simplifier en utilisant les règles

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance.

a) $2^3 \times 2^4$
b) $5^7 \times 5^2$
c) $\dfrac{10^8}{10^3}$
d) $\dfrac{7^{10}}{7^4}$
e) $\left(3^2\right)^4$
f) $\left(2^5\right)^3$
g) $a^4 \times a^7$
h) $\dfrac{x^{12}}{x^5}$
i) $\left(b^3\right)^6$

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$2^{3+4} = 2^7$.
$5^{7+2} = 5^9$.
$10^{8-3} = 10^5$.
$7^{10-4} = 7^6$.
$3^{2 \times 4} = 3^8$.
$2^{5 \times 3} = 2^{15}$.
$a^{11}$.
$x^7$.
$b^{18}$.

Exercice 6 · Démasquer les confusions de règles

Voici cinq productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Sinon, identifier l'erreur (en nommant la règle invoquée à tort) et donner le résultat juste.

$2^3 \times 2^5 = 2^{15}$
$\dfrac{a^7}{a^2} = a^5$
$\left(x^3\right)^4 = x^7$
$a^3 + a^4 = a^7$
$3^2 \times 4^2 = 12^2$

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Incorrect. L'élève a multiplié les exposants au lieu de les ajouter. Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants : $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
Correct. $\dfrac{a^7}{a^2} = a^{7-2} = a^5$.
Incorrect. L'élève a additionné les exposants au lieu de les multiplier. Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $\left(x^3\right)^4 = x^{12}$.
Incorrect. La règle $a^m + a^n = a^{m+n}$ n'existe pas. Une somme de puissances de même base ne se simplifie pas en une seule puissance. On peut seulement factoriser : $a^3 + a^4 = a^3(1 + a)$.
Correct mais à justifier prudemment. L'égalité est vraie ici, mais la règle $a^n \times b^n = (ab)^n$ doit être appliquée à des bases différentes avec un même exposant : $3^2 \times 4^2 = (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144$.

Puissances et somme : le piège de la distributivité

Rappel : la puissance n'est pas distributive sur l'addition

La règle de distributivité $k(a + b) = ka + kb$ tient parce que la multiplication par $k$ s'effectue terme à terme. La puissance, en revanche, n'est pas distributive sur l'addition : $$ (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \text{ en général}. $$ Le développement correct de $(a + b)^2$ s'obtient par double distributivité : $$ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2. $$ Le terme $2ab$, appelé double produit, est précisément ce que l'élève oublie quand il écrit $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. C'est l'une des erreurs les plus persistantes en algèbre.

Exercice 7 · Tester l'erreur sur des nombres

Calculer $(3 + 4)^2$ en utilisant l'ordre des opérations (somme d'abord, puis carré).
Calculer $3^2 + 4^2$.
Comparer les deux résultats. L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est-elle vraie pour $a = 3$ et $b = 4$ ?
Calculer $(3 + 4)^2$ en développant l'expression $a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 3$ et $b = 4$. Vérifier que ce développement est correct.

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$(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$49 \neq 25$. L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est donc fausse.
$a^2 + 2ab + b^2 = 9 + 2 \times 3 \times 4 + 16 = 9 + 24 + 16 = 49$. ✓ Le développement correct redonne bien $49$. Le terme manquant dans l'erreur, $2ab = 24$, est l'écart entre $49$ et $25$.

Exercice 8 · Développer un carré

Développer chacune des expressions suivantes en utilisant la double distributivité.

a) $(x + 5)^2$
b) $(a - 3)^2$
c) $(2y + 1)^2$
d) $(3 - x)^2$

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$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$.
$(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.
$(2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$.
$(3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.

Justifier les conventions : $a^0 = 1$ et $a^{-n}$

Rappel : une convention rendue nécessaire par la régularité

La définition d'une puissance par dépliage ne dit rien des cas $a^0$ et $a^{-n}$. Pourquoi pose-t-on $a^0 = 1$, et pas $a^0 = 0$ ?

L'argument est celui de la régularité de la suite des puissances. En partant de $2^4 = 16$ et en divisant par $2$ à chaque étape, on obtient : $$ 2^4 = 16 \quad ; \quad 2^3 = 8 \quad ; \quad 2^2 = 4 \quad ; \quad 2^1 = 2 \quad ; \quad 2^0 = ? \quad ; \quad 2^{-1} = ? $$ Pour préserver la règle (passer de $2^n$ à $2^{n-1}$ en divisant par $2$), il faut nécessairement : $$ 2^0 = 1 \quad ; \quad 2^{-1} = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad 2^{-2} = \dfrac{1}{4} \quad ; \quad 2^{-3} = \dfrac{1}{8}. $$

Conventions générales (pour $a$ non nul).

$a^0 = 1$.
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, en particulier $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$.

Erreur fréquente. L'écriture $a^{-1}$ ne signifie pas « l'opposé de $a$ ». Elle signifie « l'inverse de $a$ ». Ainsi, $5^{-1} = \dfrac{1}{5}$, et non $-5$.

Exercice 9 · Calculer des puissances négatives ou nulles

Calculer chacune des puissances suivantes.

a) $7^0$
b) $(-3)^0$
c) $5^{-1}$
d) $2^{-3}$
e) $10^{-2}$
f) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$
g) $4^{-2}$
h) $(-2)^{-3}$
i) $1^{-100}$

▶ Voir la solution

$7^0 = 1$.
$(-3)^0 = 1$.
$5^{-1} = \dfrac{1}{5}$.
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.
$10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2$ (l'inverse de $\dfrac{1}{2}$ est $2$).
$4^{-2} = \dfrac{1}{16}$.
$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$.
$1^{-100} = 1$.

Exercice 10 · Démasquer la confusion exposant négatif/opposé

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

$5^{-1} = -5$.
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}$ pour tout $a$ non nul.
$2^{-3} = -8$.
$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3}$.

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Faux. L'exposant $-1$ ne signifie pas « opposé » mais « inverse ». $5^{-1} = \dfrac{1}{5}$.
Vrai. C'est précisément la définition de l'exposant $-1$.
Faux. $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$, qui est positif.
Vrai. L'inverse d'une fraction $\dfrac{p}{q}$ est $\dfrac{q}{p}$.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Avant de manipuler une puissance, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

Suis-je en train de calculer $a^n$ comme un produit répété, ou de le confondre avec $a \times n$ ?
Y a-t-il une parenthèse autour du nombre négatif ? L'absence de parenthèse change la valeur ($-2^2 \neq (-2)^2$).
Pour combiner deux puissances, ai-je bien identifié l'opération (produit, quotient, puissance de puissance) et appliqué la règle correspondante ?
Suis-je en train de distribuer la puissance sur une somme, ce qui est interdit ($(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$) ?
L'exposant $-1$ que j'utilise désigne-t-il bien l'inverse, et non l'opposé ?

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