Fiche de cours : Proportionnalité.
La proportionnalité est l'un des outils les plus utiles, et l'un des plus mal compris. Deux grandeurs sont proportionnelles quand l'une est égale à l'autre multipliée par un coefficient constant : si l'on double l'une, on double l'autre ; si on triple l'une, on triple l'autre. Cette idée simple cache deux pièges symétriques. Le premier est l'illusion de linéarité : l'élève applique un raisonnement additif (« $+3$ partout ») au lieu d'un coefficient multiplicatif. Le second est l'application aveugle : tout problème à deux grandeurs est traité comme proportionnel, même quand la situation ne l'est pas.
Cette fiche aborde la proportionnalité en variant systématiquement les procédures (retour à l'unité, coefficient, propriété additive, propriété multiplicative, produit en croix) plutôt qu'en imposant le seul produit en croix. Elle propose aussi des situations qui ne sont pas proportionnelles, pour apprendre à les reconnaître et à ne pas y appliquer les outils de la proportionnalité.
Deux grandeurs $x$ et $y$ sont proportionnelles s'il existe un nombre $k$ (le coefficient de proportionnalité) tel que $y = k \times x$ pour toutes les valeurs prises.
Pour le tester sur un tableau de valeurs, on calcule le rapport $\dfrac{y}{x}$ pour chaque colonne. Si ce rapport est constant, les grandeurs sont proportionnelles. S'il varie, elles ne le sont pas.
Critère pratique : dans une situation proportionnelle, multiplier $x$ par $2$ multiplie $y$ par $2$, multiplier $x$ par $3$ multiplie $y$ par $3$, etc. Si l'on double la quantité achetée, on double le prix : c'est de la proportionnalité. Si l'on double l'âge d'une personne, sa taille ne double pas : ce n'est pas de la proportionnalité.
Pour chaque situation, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifier brièvement.
Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.
| Tableau A | 2 | 5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 15 | 21 | 30 |
| Tableau B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 8 | 11 | 14 |
Tableau A. Rapports : $\dfrac{6}{2} = 3$ ; $\dfrac{15}{5} = 3$ ; $\dfrac{21}{7} = 3$ ; $\dfrac{30}{10} = 3$. Constants : les grandeurs sont proportionnelles, coefficient $k = 3$.
Tableau B. Rapports : $\dfrac{5}{1} = 5$ ; $\dfrac{8}{2} = 4$ ; $\dfrac{11}{3} \approx 3{,}67$. Non constants : les grandeurs ne sont pas proportionnelles. On observe en revanche que la deuxième ligne augmente de $3$ à chaque colonne, alors que la première augmente de $1$ : c'est une situation affine (de la forme $y = 3x + 2$), mais pas proportionnelle.
Plutôt que de toujours utiliser le produit en croix, il est utile de connaître plusieurs procédures et de choisir la plus efficace selon les nombres en jeu.
1. Retour à l'unité. On cherche d'abord la valeur correspondant à $1$, puis on multiplie par la quantité voulue. Efficace quand la division par la première donnée est simple.
2. Coefficient de proportionnalité. On calcule le coefficient $k = \dfrac{y}{x}$, puis on l'applique à toute valeur de $x$. Efficace quand on doit calculer plusieurs valeurs.
3. Propriété multiplicative. Si l'on connaît $y$ pour une valeur de $x$, alors $y$ pour $kx$ est $ky$. Efficace quand les valeurs sont multiples l'une de l'autre.
4. Propriété additive. Si l'on connaît $y_1$ pour $x_1$ et $y_2$ pour $x_2$, alors $y_1 + y_2$ correspond à $x_1 + x_2$. Efficace pour combiner des valeurs connues.
5. Produit en croix. À utiliser en dernier recours quand les autres procédures n'aident pas. Il consiste à écrire $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$, puis à isoler l'inconnue par $y_2 = \dfrac{y_1 \times x_2}{x_1}$.
Pour chaque problème, choisir la procédure la plus rapide et donner la réponse.
Calculer chaque inconnue par produit en croix.
L'erreur la plus fréquente en proportionnalité consiste à appliquer un raisonnement additif là où il faut un raisonnement multiplicatif. Devant un problème d'agrandissement, par exemple, l'élève qui sait que « quand le côté augmente de $2$ cm, le périmètre augmente de … » applique souvent un « $+ k$ » partout au lieu d'un « $\times k$ ».
Ce piège est particulièrement vicieux pour les aires et les volumes. Si l'on double les longueurs d'une figure, l'aire est multipliée par $4$ (pas par $2$), et le volume est multiplié par $8$ (pas par $2$). L'élève qui multiplie l'aire par $2$ commet l'erreur d'illusion de linéarité.
Voici trois productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Sinon, identifier l'erreur et donner le résultat juste.
Règle générale. Quand on multiplie les longueurs d'une figure par un coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ces relations ne sont pas de la proportionnalité simple.
Pourcentages. Calculer $p\,\%$ d'une quantité $Q$ revient à multiplier $Q$ par $\dfrac{p}{100}$. Augmenter de $p\,\%$, c'est multiplier par $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Diminuer de $p\,\%$, c'est multiplier par $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
Échelles. L'échelle d'un plan ou d'une carte est le rapport entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles. Une échelle de $\dfrac{1}{50\,000}$ signifie que $1$ cm sur le plan correspond à $50\,000$ cm $= 500$ m dans la réalité.
Avant et pendant un calcul de proportionnalité, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.