Maîtriser le produit scalaire

Pourquoi cette fiche ?

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre. Il sert surtout à reconnaître l'orthogonalité (deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire est nul) et à calculer des angles. On dispose de deux formules selon les données : l'une avec les coordonnées, l'autre avec les normes et l'angle. La difficulté est de choisir la bonne formule et de se souvenir que le résultat est un nombre, pas un vecteur.

Cette fiche reprend chaque savoir-faire : calculer avec les coordonnées, reconnaître l'orthogonalité, utiliser les normes et l'angle, et démontrer un angle droit dans un repère. Le repère est orthonormé.

Calculer un produit scalaire avec les coordonnées

Rappel : la formule avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$. On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne (jamais en croix).

Exercice 1 · Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$

$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$
$\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

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$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 6 - 5 = 1$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times (-1) + 2 \times 3 = -4 + 6 = 2$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2) \times 5 + 5 \times 2 = -10 + 10 = 0$.

Reconnaître l'orthogonalité

Rappel : produit scalaire nul

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. C'est l'outil de référence pour prouver un angle droit, ou pour trouver un paramètre rendant deux vecteurs perpendiculaires.

Exercice 2 · Orthogonaux ou non ?

Les vecteurs $\vec{a}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?
Les vecteurs $\vec{c}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{d}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?
Déterminer le réel $t$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ t \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

▶ Voir la solution

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \times 2 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5 \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + t \times (-1) = 6 - t$. Ils sont orthogonaux lorsque $6 - t = 0$, soit $t = 6$.

Utiliser les normes et l'angle

Rappel : la formule avec les normes et l'angle

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et $\theta$ est l'angle qu'ils forment, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$. On utilise cette formule quand on connaît les longueurs et l'angle, et non les coordonnées.

Exercice 3 · Calculer avec les normes

$\|\vec{u}\| = 5$, $\|\vec{v}\| = 4$ et $\theta = 60^{\circ}$.
$\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et $\theta = 90^{\circ}$.
$\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 6$ et $\theta = 180^{\circ}$.

▶ Voir la solution

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 4 \times \cos(60^{\circ}) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 \times \cos(90^{\circ}) = 6 \times 0 = 0$ (les vecteurs sont orthogonaux).
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 \times \cos(180^{\circ}) = 12 \times (-1) = -12$.

Calculer une norme et un angle

Rappel : norme et angle à partir des coordonnées

La norme de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Pour trouver un angle, on isole le cosinus : $\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$.

Exercice 4 · Norme et angle

Calculer la norme de $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Déterminer l'angle entre $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Déterminer l'angle entre $\vec{a}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$.

▶ Voir la solution

$\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 0 + 2 \times 3 = 6$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\|\vec{v}\| = 3$. Donc $\cos(\theta) = \dfrac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \dfrac{6}{6\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, d'où $\theta = 45^{\circ}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times \sqrt{3} = 1$, $\|\vec{a}\| = 1$, $\|\vec{b}\| = \sqrt{1 + 3} = 2$. Donc $\cos(\theta) = \dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{1}{2}$, d'où $\theta = 60^{\circ}$.

Démontrer un angle droit dans un repère

Rappel : du produit scalaire à la nature du triangle

Pour montrer qu'un triangle est rectangle en un sommet, on calcule le produit scalaire des deux vecteurs partant de ce sommet : s'il est nul, l'angle est droit. En comparant aussi les longueurs, on précise si le triangle est de plus isocèle.

Exercice 5 · Nature d'un triangle

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 \,;\, 1)$, $B(5 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 4)$.

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, puis les longueurs $AB$ et $AC$.
En déduire la nature précise du triangle $ABC$.

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$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0$. De plus, $AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ et $AC = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
Le produit scalaire est nul, donc le triangle est rectangle en $A$. Et comme $AB = AC = \sqrt{10}$, il est aussi isocèle : le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Avant et pendant un exercice sur le produit scalaire, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

Quelles données ai-je : des coordonnées (formule $x x' + y y'$) ou des normes et un angle (formule $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$) ?
Avec les coordonnées, ai-je bien multiplié $x$ par $x'$ et $y$ par $y'$ (et non en croix) ?
Le résultat est un nombre : ai-je évité de lui donner des coordonnées ?
Pour reconnaître un angle droit, ai-je vérifié que le produit scalaire est nul ?
Pour un angle, ai-je bien isolé $\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ avant de conclure ?

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