Fiche de cours : Probabilités et statistiques.
Le hasard est l'un des sujets où l'intuition trompe le plus souvent. Spontanément, on tend à juger toutes les issues d'une expérience « aussi probables », à confondre une fréquence observée sur quelques essais avec une probabilité, à juger une suite de résultats « plus probable » parce qu'elle ressemble au désordre que l'on imagine. Quant à la moyenne, c'est un nombre dont le sens reste flou pour beaucoup : ce n'est ni la valeur la plus fréquente, ni nécessairement une valeur observée.
Cette fiche aborde les probabilités et la statistique en démasquant ces intuitions trompeuses. Elle s'appuie sur deux idées clés : dénombrer explicitement les issues d'une expérience pour ne pas se contenter d'une équiprobabilité supposée ; simuler ou expérimenter pour observer la stabilisation des fréquences vers la probabilité théorique. Pour la moyenne, elle propose une approche par redistribution (« la valeur qui égalise ») plus robuste que la simple formule.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Chacun de ces résultats possibles est appelé une issue. L'ensemble des issues est appelé l'univers de l'expérience.
Un événement est un sous-ensemble de l'univers (une « partie » des issues). On dit qu'un événement est réalisé si l'issue de l'expérience appartient à cet événement.
Probabilité d'un événement. La probabilité d'un événement $A$ est un nombre $P(A)$ compris entre $0$ et $1$. Si toutes les issues sont équiprobables, on a : $$ P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues qui réalisent } A}{\text{nombre total d'issues}}. $$
Pour chaque expérience aléatoire, lister toutes les issues possibles, puis indiquer combien il y en a.
On appelle équiprobabilité la situation où toutes les issues d'une expérience ont la même probabilité. C'est un cas particulier, qu'il faut justifier (par la symétrie de l'objet, par exemple : dé non truqué, pièce équilibrée, urne avec boules indiscernables).
Erreur fréquente. L'élève suppose souvent l'équiprobabilité par défaut, même quand elle ne tient pas. Par exemple, il pense que « obtenir $7$ ou $12$ comme somme de deux dés » sont des événements équiprobables. Or il y a plusieurs façons d'obtenir $7$ (six couples : $(1,6),\allowbreak (2,5),\allowbreak (3,4),\allowbreak (4,3),\allowbreak (5,2),\allowbreak (6,1)$) mais une seule façon d'obtenir $12$ (un seul couple : $(6,6)$). Les deux événements ne sont pas équiprobables.
Méthode sûre. Avant de calculer une probabilité, dénombrer explicitement les issues : faire un arbre, un tableau à double entrée, ou lister tous les couples.
On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on note la somme des résultats.
Les sommes vont de $2$ (couple $(1,1)$) à $12$ (couple $(6,6)$). Voici le tableau :
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Conclusion. Les sommes ne sont pas équiprobables : $7$ est six fois plus probable que $12$. L'erreur consistant à supposer une équiprobabilité conduirait à conclure que $P(\text{somme} = 7) = P(\text{somme} = 12)$, ce qui est faux.
On tire successivement et avec remise deux boules d'une urne contenant $3$ boules rouges et $2$ boules bleues.
La fréquence d'un événement, calculée sur $n$ répétitions d'une expérience aléatoire, est le rapport $$ f = \dfrac{\text{nombre de fois où l'événement est réalisé}}{n}. $$
Sur peu d'essais, la fréquence peut s'écarter beaucoup de la probabilité théorique. Mais lorsqu'on multiplie les essais, la fréquence tend à se stabiliser vers la probabilité. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres.
Conséquence pratique. Un événement de probabilité $0{,}01$ n'est pas « impossible » : en moyenne, il se produit une fois sur cent. À la cent-millième tentative, il se sera produit environ mille fois. Réduire les petites probabilités à zéro est une erreur fréquente, qui sous-estime systématiquement les événements rares.
Léa lance $20$ fois un dé équilibré et obtient les résultats suivants : $3,\allowbreak 1,\allowbreak 6,\allowbreak 4,\allowbreak 2,\allowbreak 5,\allowbreak 6,\allowbreak 3,\allowbreak 1,\allowbreak 4,\allowbreak 2,\allowbreak 5,\allowbreak 3,\allowbreak 6,\allowbreak 1,\allowbreak 2,\allowbreak 4,\allowbreak 5,\allowbreak 3,\allowbreak 6$.
Spontanément, on juge une suite de résultats « plus probable » quand elle ressemble à du hasard, c'est-à-dire qu'elle alterne ou ne montre pas de régularité apparente. Mais cette intuition est trompeuse.
Si l'on lance une pièce six fois, les deux suites suivantes sont exactement aussi probables : $$ \text{PFPPFP} \quad \text{et} \quad \text{PPPPPP}. $$ Chacune a une probabilité $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{64}$. Le fait que la première « ressemble » au hasard et que la seconde paraisse « ordonnée » n'a rien à voir avec leur probabilité. C'est ce qu'on appelle le biais de représentativité.
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
La moyenne d'une série de valeurs est définie par : $$ \overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n}. $$
Cette formule cache une idée intuitive plus parlante : la moyenne est la valeur qui, si on la donnait à tout le monde, donnerait le même total. C'est la valeur qui « égalise » quand on redistribue.
Erreurs fréquentes.
Voici la liste des notes obtenues par les $10$ élèves d'un groupe : $5,\allowbreak 8,\allowbreak 8,\allowbreak 8,\allowbreak 10,\allowbreak 12,\allowbreak 13,\allowbreak 14,\allowbreak 17,\allowbreak 18$.
Une classe de $10$ élèves a obtenu les notes suivantes au dernier devoir : $11,\allowbreak 12,\allowbreak 12,\allowbreak 13,\allowbreak 13,\allowbreak 13,\allowbreak 14,\allowbreak 14,\allowbreak 15,\allowbreak 15$. Calculer la moyenne. On apprend qu'il faut ajouter une onzième note : $0$ (un élève absent à qui la note $0$ a été attribuée).
Avant et pendant un calcul de probabilité ou de moyenne, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.