Maîtriser la géométrie dans l'espace

Fiche de cours : Géométrie dans l'espace.

Pourquoi cette fiche ?

Dans l'espace, on repère un point par trois coordonnées $(x \,;\, y \,;\, z)$. Les outils du plan se prolongent presque sans changement : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu, colinéarité, produit scalaire. Il suffit d'ajouter partout la troisième coordonnée. La difficulté principale est justement de ne pas oublier la coordonnée $z$, et de bien visualiser la situation.

Cette fiche reprend chaque savoir-faire : coordonnées d'un vecteur, distance et milieu, colinéarité, produit scalaire et orthogonalité, puis démonstration d'un angle droit. Le repère est orthonormé.

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Rappel : la formule avec la troisième coordonnée

Pour $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et $B(x_B \,;\, y_B \,;\, z_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$. On soustrait coordonnée par coordonnée, sans oublier $z$.

Exercice 1 · Calculer des coordonnées

$A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
$C(-2 \,;\, 3 \,;\, 1)$ et $D(0 \,;\, 3 \,;\, 5)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
On sait que $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et que $A(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$. Déterminer les coordonnées de $B$.

▶ Voir la solution

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 0 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 3 - 3 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Les coordonnées de $B$ sont celles de $A$ augmentées de celles de $\overrightarrow{AB}$ : $B(1 + 3 \,;\, 1 - 2 \,;\, 1 + 1)$, soit $B(4 \,;\, -1 \,;\, 2)$.

Distance et milieu

Rappel : distance et milieu dans l'espace

Dans un repère orthonormé, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ (penser au carré de la troisième coordonnée). Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$.

Exercice 2 · Calculer une distance et un milieu

On donne $A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $B(4 \,;\, 0 \,;\, 5)$.

Calculer la distance $AB$.
Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

▶ Voir la solution

$AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$I\left(\dfrac{2 + 4}{2} \,;\, \dfrac{-1 + 0}{2} \,;\, \dfrac{3 + 5}{2}\right) = \left(3 \,;\, -\dfrac{1}{2} \,;\, 4\right)$.

Colinéarité

Rappel : un vecteur multiple de l'autre

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $\vec{u} = k\,\vec{v}$. Pour le vérifier, on cherche un réel $k$ qui convient pour la première coordonnée, puis on contrôle qu'il convient aussi pour les deux autres.

Exercice 3 · Colinéaires ou non ?

$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

▶ Voir la solution

On cherche $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$ : $-3 = k \times 2$ donne $k = -\dfrac{3}{2}$. On vérifie : $-\dfrac{3}{2} \times 4 = -6$ et $-\dfrac{3}{2} \times (-2) = 3$. Les trois coordonnées concordent, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Pour la première coordonnée, $2 = k \times 1$ donne $k = 2$ ; pour la deuxième, $4 = 2 \times 2$ convient ; mais pour la troisième, $2 \times 3 = 6 \neq 5$. Aucun $k$ ne convient pour les trois coordonnées : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Rappel : la troisième coordonnée s'ajoute

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$. Comme dans le plan, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Exercice 4 · Produit scalaire et orthogonalité

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Sont-ils orthogonaux ?
Calculer $\vec{a} \cdot \vec{b}$ pour $\vec{a}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Sont-ils orthogonaux ?
Déterminer le réel $t$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

▶ Voir la solution

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3 \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + t \times (-1) + 2 \times 1 = 5 - t$. Ils sont orthogonaux lorsque $5 - t = 0$, soit $t = 5$.

Démontrer un angle droit dans l'espace

Rappel : le produit scalaire prouve l'angle droit

Pour montrer qu'un triangle est rectangle en un sommet, on calcule le produit scalaire des deux vecteurs partant de ce sommet : s'il est nul, l'angle est droit. La méthode est la même que dans le plan, avec une coordonnée de plus.

Exercice 5 · Nature d'un triangle dans l'espace

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 \,;\, 1 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, 1 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 3 \,;\, 1)$.

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
En déduire la nature du triangle $ABC$.

▶ Voir la solution

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 1 - 1 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 3 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-1) + 0 \times 2 + 2 \times 1 = -2 + 0 + 2 = 0$.
Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Pour s'auto-évaluer

Rappel : cinq questions à se poser

Avant et pendant un exercice de géométrie dans l'espace, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

Ai-je bien utilisé les trois coordonnées, sans oublier $z$, dans chaque calcul ?
Pour une distance, ai-je ajouté le carré de la troisième coordonnée sous la racine ?
Pour la colinéarité, ai-je vérifié qu'un même coefficient $k$ convient pour les trois coordonnées ?
Pour le produit scalaire, ai-je bien ajouté le produit $z z'$ ?
Pour un angle droit, est-ce bien le produit scalaire nul qui me permet de conclure ?

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