Fiche de cours : Dérivation.
Dériver, c'est mesurer la vitesse de variation d'une fonction. Le nombre dérivé en un point est la pente de la tangente ; le signe de la dérivée donne les variations de la fonction. La plupart des erreurs viennent de l'application des formules, en particulier celle du produit et celle du quotient, et de la confusion entre étudier le signe de $f$ et celui de $f'$.
Cette fiche reprend chaque savoir-faire séparément : dériver les fonctions usuelles et les polynômes, puis un produit, un quotient, déterminer une tangente, et enfin relier la dérivée aux variations. Détaille toujours la formule utilisée avant de remplacer.
On dérive les fonctions usuelles avec les formules suivantes :
Pour un polynôme, on dérive terme à terme, et un coefficient constant se conserve : $(k\,u)' = k\,u'$.
Calculer la dérivée de chaque fonction.
$(uv)' = u'v + uv'$. On identifie $u$ et $v$, on calcule $u'$ et $v'$, on écrit la formule en entier, puis on remplace et on réduit. Ne jamais dériver « terme à terme » un produit.
Calculer la dérivée.
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, valable là où $v \neq 0$. Attention à l'ordre au numérateur : c'est $u'v$ moins $uv'$, jamais l'inverse.
Calculer la dérivée.
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule donc $f'(a)$ (le coefficient directeur) et $f(a)$ (l'ordonnée du point de contact), puis on remplace.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ indiqué.
Sur un intervalle, $f$ est croissante là où $f'$ est positive, décroissante là où $f'$ est négative. Pour étudier les variations : on dérive, on factorise $f'$, on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations. On étudie bien le signe de $f'$, et non celui de $f$.
On considère $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$.
Le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$ se résument dans le tableau de variations suivant :
La fonction $f$ admet donc un maximum local égal à $8$ en $-1$ (car $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$) et un minimum local égal à $-19$ en $2$ (car $f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$).
Pour rendre une grandeur maximale ou minimale, on l'exprime comme une fonction d'une variable, on dérive, et on cherche où la dérivée s'annule en changeant de signe. C'est l'application la plus utile de la dérivation.
On dispose de $20$ mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur forme l'un des côtés, le grillage les trois autres). On note $x$ la largeur de l'enclos (les deux côtés perpendiculaires au mur).
La longueur vaut alors $20 - 2 \times 5 = 10$ m, et l'aire maximale est $A(5) = 5 \times 10 = 50$ m$^2$. Le tableau de variations de $A$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, 10\mathclose{[}$ confirme ce maximum :
Avant et pendant un calcul de dérivée, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.