Fiches de cours : Nombres relatifs, Fractions.
Les nombres décimaux étendent l'univers des nombres au-delà des entiers naturels. Cette extension paraît naturelle, mais elle s'accompagne de plusieurs pièges. Certaines règles familières des entiers (« plus un nombre a de chiffres, plus il est grand ») cessent d'être valables. La virgule, contrairement à ce que suggère son nom français, n'est pas un séparateur entre deux entiers : elle marque le passage des unités aux dixièmes, centièmes, millièmes. Et entre deux décimaux voisins, comme $1{,}5$ et $1{,}6$, il n'y a pas « rien », mais une infinité de nombres.
Cette fiche aborde les nombres décimaux sous deux angles indissociables. D'abord, le sens du nombre : comprendre la valeur de position des chiffres après la virgule, comparer correctement, intercaler, situer sur une droite graduée, faire le lien avec les fractions. Ensuite, la maîtrise des opérations : additions et soustractions avec virgules alignées, multiplications et divisions par $10$, $100$, $1000$.
Dans un nombre décimal, chaque chiffre tient sa valeur de la place qu'il occupe.
Ainsi, dans $3{,}124$ :
On peut donc écrire $3{,}124 = 3 + 0{,}1 + 0{,}02 + 0{,}004$, ou encore $3{,}124 = 3 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{100} + \dfrac{4}{1000}$.
Pour chacun des nombres suivants, indiquer la valeur du chiffre $5$.
Décomposer chacun des nombres suivants comme une somme de termes du type $\text{chiffre} \times \text{valeur de position}$, en suivant le modèle : $$ 3{,}124 = 3 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{100} + \dfrac{4}{1000}. $$
Avec les entiers naturels, plus un nombre a de chiffres, plus il est grand : $124 > 7$. Avec les nombres décimaux, ce principe n'est plus valable à droite de la virgule.
Pour comparer deux décimaux, on procède en deux temps.
Exemple : pour comparer $3{,}124$ et $3{,}7$, on écrit $3{,}7 = 3{,}700$ et l'on compare $3{,}124$ et $3{,}700$. Comme $3 = 3$ pour la partie entière, on regarde les dixièmes : $1 < 7$, donc $3{,}124 < 3{,}700$, c'est-à-dire $3{,}124 < 3{,}7$. Le nombre $3{,}124$ a beaucoup de chiffres mais il est plus petit.
Pour chacune des affirmations, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
Voici la production d'un élève à qui l'on demande de ranger $1{,}5$, $1{,}45$, $1{,}312$ et $1{,}9$ dans l'ordre croissant.
« $1{,}5 < 1{,}9 < 1{,}45 < 1{,}312$, parce que $5 < 9 < 45 < 312$. »
Ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant.
Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$. $$ 0{,}7 = \dfrac{7}{10} \quad ; \quad 0{,}35 = \dfrac{35}{100} \quad ; \quad 0{,}042 = \dfrac{42}{1000}. $$ Réciproquement, certaines fractions s'écrivent comme des nombres décimaux. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ a une écriture décimale finie si et seulement si, après simplification, son dénominateur ne contient que des facteurs $2$ et $5$. $$ \dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75 \quad ; \quad \dfrac{1}{8} = \dfrac{125}{1000} = 0{,}125. $$ À l'inverse, $\dfrac{1}{3}$ n'a pas d'écriture décimale finie (son écriture est $0{,}333…$, illimitée).
Écrire chacun des nombres décimaux suivants sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$, puis donner la fraction simplifiée si possible.
Pour chacune des fractions suivantes, déterminer si elle a une écriture décimale finie. Si oui, donner cette écriture ; sinon, expliquer pourquoi.
Avec les entiers naturels, après $5$ vient $6$, et il n'y a aucun entier entre les deux. Cette idée de « successeur » n'est plus valable pour les décimaux. Entre $1{,}5$ et $1{,}6$, il existe une infinité de décimaux : $1{,}51$, $1{,}55$, $1{,}59$, $1{,}501$, $1{,}5001$, etc.
Pour intercaler un décimal entre deux décimaux donnés, une méthode efficace consiste à ajouter une décimale supplémentaire : on a alors la place pour insérer un nombre.
Donner, dans chaque cas, un nombre décimal strictement compris entre les deux nombres proposés.
Plusieurs réponses sont possibles dans chaque cas.
Donner, pour chaque cas, trois nombres décimaux distincts strictement compris entre les deux nombres proposés.
Plusieurs réponses sont possibles. Voici un choix correct.
Combien y a-t-il de nombres décimaux strictement compris entre $0{,}3$ et $0{,}4$ ? Justifier la réponse en proposant une méthode pour en construire autant que l'on veut.
Il y en a une infinité. Par exemple, en passant aux centièmes, on en trouve neuf : $0{,}31$ ; $0{,}32$ ; $…$ ; $0{,}39$. En passant aux millièmes, on en trouve $99$. En passant aux dix-millièmes, on en trouve $999$. On passe ainsi de $9$ à $99$ puis $999$ décimaux intercalables : presque dix fois plus à chaque décimale ajoutée. Comme on peut ajouter autant de décimales que l'on veut, le nombre de décimaux entre $0{,}3$ et $0{,}4$ est infini.
Pour situer un décimal sur une droite graduée, on procède par zooms successifs. On encadre d'abord par deux entiers consécutifs, puis on zoome pour encadrer par deux dixièmes consécutifs, et ainsi de suite. Cette méthode rend visible la densité des décimaux.
Pour chacun des nombres suivants, donner un encadrement par deux entiers consécutifs, puis un encadrement par deux dixièmes consécutifs, puis un encadrement par deux centièmes consécutifs (lorsque cela a un sens).
Sur chaque droite graduée ci-dessous, lire la valeur du point repéré.
Dans l'écriture d'un nombre décimal, certains zéros sont indispensables (ils marquent une valeur de position) et d'autres sont inutiles (ils peuvent être supprimés sans changer la valeur).
Cas particulier des mesures. En sciences, l'écriture $3{,}50$ m peut signifier que la mesure est connue au centimètre près, alors que $3{,}5$ m ne précise que le décimètre. Le zéro final n'a alors plus le même statut : il indique la précision de la mesure, et n'est plus simplement décoratif.
Pour chacun des nombres suivants, identifier les zéros inutiles et donner l'écriture la plus simple.
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
Une erreur classique consiste à traiter un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule. Par exemple, un élève écrit : $$ 3{,}7 + 2{,}5 = 5{,}12 \quad \text{(faux)} $$ en faisant $3 + 2 = 5$ d'un côté de la virgule et $7 + 5 = 12$ de l'autre, sans transmettre la retenue. Or, $7$ et $5$ sont ici des dixièmes, et $7 + 5 = 12$ dixièmes, c'est-à-dire $1$ unité et $2$ dixièmes. La retenue franchit donc la virgule.
Le calcul correct est : $$ 3{,}7 + 2{,}5 = 6{,}2. $$
Pour éviter cette erreur, la règle est de toujours aligner les virgules lorsqu'on pose l'opération, en complétant si nécessaire avec des zéros pour avoir le même nombre de décimales.
Voici trois calculs effectués par un élève. Pour chacun, dire si le résultat est correct. S'il est incorrect, identifier l'erreur et donner le résultat juste.
Effectuer chacun des calculs suivants en posant l'opération et en alignant soigneusement les virgules.
Multiplier un nombre décimal par $10$, $100$, $1000$ revient à déplacer la virgule vers la droite de $1$, $2$, $3$ rangs. Diviser par $10$, $100$, $1000$ revient à déplacer la virgule vers la gauche de $1$, $2$, $3$ rangs. $$ 3{,}124 \times 10 = 31{,}24 \quad ; \quad 3{,}124 \times 100 = 312{,}4 \quad ; \quad 3{,}124 \div 100 = 0{,}03124. $$ Lorsqu'il manque des chiffres pour décaler la virgule, on complète avec des zéros. $$ 0{,}7 \times 1000 = 700 \quad ; \quad 5 \div 100 = 0{,}05. $$
Erreur fréquente. L'élève qui pense que « multiplier par $10$ revient à ajouter un zéro à droite » ne fait pas la différence entre $32 \times 10 = 320$ (correct, car le nombre est entier) et $3{,}2 \times 10 = 3{,}20$ (incorrect : le résultat correct est $32$). La règle « ajouter un zéro » n'est qu'un cas particulier, valable uniquement pour les entiers.
Calculer chacun des produits ou quotients suivants.
Voici trois calculs effectués par un élève. Pour chacun, dire si le résultat est correct. S'il est incorrect, identifier l'erreur et donner le résultat juste.
Avant de comparer, calculer ou interpréter un nombre décimal, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.